Τρίτη, 28 Σεπτεμβρίου 2010

Η ΧΑΡΑ ΤΗΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ...

Λοιπόν, για να μου βρείτε μια λέξη που είναι κοινή και στις τρεις αυτές φωτογραφίες...



Παρασκευή, 24 Σεπτεμβρίου 2010

ΣΧΟΛΕΙΟ-SCHOLA-SCHOOL-ECOLE-SCHULE-ESCUOLA-SCUOLA

" Η έννοια του σχολείου, και όχι μόνο η λέξη, είναι ελληνική. Πράγματι η ίδρυση σχολείων εκεί που δεν υπάρχει επιστήμη προς μεταβίβαση δεν έχει κανένα νόημα. Οι αρχαϊκές κοινωνίες δεν έχουν σχολεία, έχουν μόνο τελετές και διαδικασίες μύησης (όπως η περίπτωση της σπαρτιάτικης ΑΓΩΓΗΣ: ως προς αυτό η Σπάρτη υποφέρει από μια μοιραία καθυστέρηση σε σχέση με την Αθήνα). Οι αρχαίοι λαοί που γνώριζαν γραφή αλλά ήταν προγενέστεροι από την άνθηση της ελληνικής επιστήμης έχουν μόνο "σχολές γραφέων", πρακτικές σχολές ειδικευμένων τεχνιτών. Μόνο όταν υπάρχει επιστήμη ανιδιοτελής, "φιλελεύθερη", μια δραστηριότητα αποκλειστικά πνευματική και απελευθερωμένη απο οποιαδήποτε τεχνική καθώς και αθλητική ή στρατιωτική δραστηριότητα, υπάρχει λόγος για τη δημιουργία ενός ξεχωριστού θεσμού αφιερωμένου στη μετάδοση της επιστήμης αυτής στους νέους.
Μετά την αρχική φάση των επιστημονικών αδελφοτήτων, όπως της αδελφότητας των πυθαγορείων, και της καθαρά ιδιωτικής διδασκαλίας των σοφιστών, οι Έλληνες θα καταρτίσουν ένα πραγματικό εκπαιδευτικό σύστημα, με δημοτικά σχολεία, όπου  ο δάσκαλος μαθαίνει στα παιδιά να διαβάζουν, να γράφουν, να μετρούν' με σχολεία μέσης εκπαίδευσης όπου ο καθηγητής διδάσκει στους μαθητές τη γραμματική και τη λογοτεχνία και, μέσα από αυτές, το αναλυτικό πνεύμα και τη γενικότερη κουλτούρα' τέλος, με ιδρύματα ανώτατης εκπαίδευσης - δηλαδή με σχολές φιλοσοφίας, ρητορικής και ιατρικής. Ας σημειωθεί ότι ο λατινικός κόσμος δεν θα πρωτοτυπήσει καθόλου στα εκπαιδευτικά θέματα: θα υιοθετήσει αυτούσιο το ελληνικό σχολικό πρότυπο, εκτός από ένα σημείο: έχοντας επινοήσει το δίκαιο, θα δημιουργήσει εξίσου εξειδικευμένες σχολές για τον κλάδο αυτό. "

Το παραπάνω απόσπασμα είναι από το βιβλίο "Τί είναι η Δύση;", του Φιλίπ Νεμό, συγγραφέα και πανεπιστημιακού καθηγητή και κυκλοφόρησε τον Μάη του 2008 από τις εκδόσεις ΕΣΤΙΑ.  Ο Νεμό στο βιβλίο του προσπαθεί να προσδιορίσει την έννοια "Δύση"  εξετάζοντας την ιστορική της προέλευση σε βάθος χρόνου καθώς και τις συνιστώσες  που διαμορφώνουν αυτήν την αόριστη και μάλλον προβληματική   έννοια.  
Διαβάζουμε στο οπισθόφυλλο:
 Κατά τον Νεμό για να διαμορφωθεί αυτό που αποκαλούμε σήμερα Δύση, συνεργάστηκαν αθροιστικά πέντε καίριες ιστορικές στιγμές:
1. η επινόηση της πόλης και της επιστήμης στην Αρχαία Ελλάδα
2. το ιδιωτικό δίκαιο και ο ουμανισμός της Ρώμης
3. η ηθική και εσχατολογική προφητεία της Βίβλου
4. η "παπική επανάσταση" (11ος-13ος αι.) που καταξίωσε την ανθρώπινη ύπαρξη
5. οι μεγάλες δημοκρατικές επαναστάσεις των Νεότερων Χρόνων.


Αυτές οι πέντε στιγμές -κλειδιά, τα πέντε "εξελικτικά άλματα", όπως τα ονομάζει ο συγγραφέας, αλλάζοντας άρδην τη σχέση του ανθρώπου με τη φύση, με το παρελθόν και το μέλλον του, και με τον άλλο άνθρωπο, διαμόρφωσαν τελικά τη σημερινή πολιτισμική και πολιτική φυσιογνωμία της Δύσης.
Στην παρούσα ιστορική στιγμή ο Φιλίπ Νεμό, αντίθετα προς τους κήρυκες της πολιτισμικής επιμειξίας, προτείνει την υπεράσπιση της δυτικής ταυτότητας, των πολιτικών και πολιτισμικών συνόρων της Δύσης, σε ανοιχτό πάντοτε διάλογο με τους άλλους πολιτισμούς.

Αν δεχτούμε πως η θέση  του Φιλίπ Νεμό είναι ορθή, τότε  για να εξέλθει η "Δύση" από την κρίση που βιώνει τα τελευταία χρόνια, οφείλουμε πρωτίστως να στρέψουμε ξανά την προσοχή μας στο ΣΧΟΛΕΙΟ-SCHOLA-SCHOOL-ECOLE-SCHULE-ESCUOLA-SCUOLA ή όπως αλλιώς μπορούμε να πούμε τον χώρο, τον χρόνο και τη διαδικασία που  διαμορφώνει, ή -ορθότερα- που θα έπρεπε να διαμορφώνει ανθρώπους ψυχικά και πνευματικά ελεύθερους. 

-------------------------------------------------------------------------------------------------
Η παραπάνω εικόνα βρίσκεται εδώ, μαζί με ένα ενδιαφέρον κείμενο για την Εκπαίδευση στην Αρχαία Ελλάδα.

Τρίτη, 21 Σεπτεμβρίου 2010

ΟΙ ΔΙΑΔΡΟΜΕΣ ΤΗΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΨΕΥΔΟΥΣ

Μετά από σκέψη και αναζήτηση (και αρκετό διάβασμα :)) για το πώς θα έπρεπε να δουλέψουμε στην τάξη την πρώτη (και δυσκολότερη ίσως) παράγραφο του βιβλίου της  Άλγεβρας της Α΄ Λυκείου  και λαμβάνοντας υπόψιν τόσο τις οδηγίες που δημοσίευσαν στο διαδίκτυο σχολικοί σύμβουλοι των μαθηματικών σχετικά με το θέμα αυτό, όσο και το ότι οι μαθητές στους οποίους απευθύνομαι μόλις χθες αποφοίτησαν από το Γυμνάσιο και κατά συνέπεια δεν πρέπει να τους τρομάξω, [πολύ δε περισσότερο που αποτελούν τους υποψήφιους για την Τεχνολογική και τη Θετική κατεύθυνση της Β', την οποίαν διακαώς επιθυμούμε να έχουμε (και) του χρόνου :)], 
 κατέληξα στο συμπέρασμα, πως για να γίνει διασκεδαστικό και αποτελεσματικό το μάθημα της 1ης παραγράφου του βιβλίου και να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως "διακοσμητικό στοιχείο" στην τάξη και ως σημείο αναφοράς στα λάθη που συχνά γίνονται από τα παιδιά, πρέπει να ασχοληθούμε εκ νέου μ' αυτό. Παρόλο που  είπαμε τα περί συνεπαγωγής, ισοδυναμίας, σύζευξης, διάζευξης και αισίως θα ολοκληρώσουμε  τα σύνολα, σκέφτηκα πως θα ήταν σκόπιμη μια μικρή παρένθεση, όπου θα ξανακουβεντιάζαμε την Συνεπαγωγή, κάπως πιο πλουραλιστικά αυτήν τη φορά!
Για τον σκοπό αυτό συνόψισα στον παρακάτω πίνακα σε "συμβολική γλώσσα" τη λειτουργία της Συνεπαγωγής, σχηματικά και με πολλά περιθώρια εναλλακτικών προσεγγίσεων, ήτοι μαθηματικολογικών, φιλοσοφικών, εικαστικών και ότι άλλο πιθανόν προτείνουν οι μαθητές.





Δίνοντας έναν "πιασάρικο" τίτλο όπως π.χ. "Οι διαδρομές της Αλήθειας και του Ψεύδους" στον παραπάνω πίνακα θα μπούμε στη διαδικασία της περιγραφής των διαδρομών αυτών ξεκινώντας άλλοτε από αληθή υπόθεση, (σιέλ τρίγωνο) και άλλοτε από ψευδή, (καφέ τρίγωνο), και μεταβαίνοντας σε ένα αληθές ή ψευδές συμπέρασμα,  (σιέλ ή καφέ ορθογώνιο αντίστοιχα).
Η μετάβαση μπορεί να γίνεται με δυο τρόπους, είτε με ορθή εφαρμογή ενός "σωστού" κανόνα (σ) είτε με λάθος εφαρμογή ενός σωστού κανόνα ή με [σωστή!] εφαρμογή ενός λαθεμένου, πιθανόν και ανύπαρκτου, κανόνα. [όρα: "σβύσιμο", κατά κυριολεξία, των παρενθέσεων :)]
Αφού σχολιάσουμε τον παραπάνω πίνακα, κάνοντας και μια γρήγορη επανάληψη όσων ήδη γνωρίζουμε, σκέφτομαι να ζητήσω ως -προαιρετική σαββατοκυριακάτικη -εργασία  να  τον "αποδώσουν" με έναν από τους ακόλουθους τρόπους.
1. Με μαθηματικά παραδείγματα (οποία πρωτοτυπία...:)  )
2. Με μια ιστορία που θα επινοήσουν τα ίδια
3. Με ζωγραφιές και εικόνες
3. Με σκιτσαρισμένα γραφήματα (τύπου graffiti)
4. Με οποιονδήποτε άλλον τρόπο μου προτείνουν, με την προϋπόθεση πως θα κριθεί κατάλληλος και εκπαιδευτικός.

Πιθανόν κάποια έργα των παιδιών -αν υπάρχουν καλλιτέχνες στην τάξη-  να αποτελέσουν  το ντεκόρ της αίθουσάς τους. Επίσης πιθανόν και το να μην ανταποκριθούν στο βαθμό που περιμένω, αν και οι προηγούμενες αντιδράσεις τους στο θέμα, όπως το "διευρύναμε" μάλιστα συζητώντας στοιχειωδώς και για Ηθική, μου εξασφαλίζουν μιαν αισιόδοξη αναμονή...
Όπως και να έχει, το ξάφνιασμα και μόνο που θα νιώσουν, όταν δουν πως στο μάθημα των Μαθηματικών μπορούν να παίξουν ή να ζωγραφίσουν ή να αφηγηθούν τις δικές τους ιστορίες, πιστεύω πως θα τους δημιουργήσει εκείνου του είδους την ψυχολογία, που είναι απαραίτητη προϋπόθεση για να ασχοληθεί κανείς με θέματα δύσκολα και απαιτητικά, όπως είναι, κατά κοινή ομολογία, στο Λύκειο τα Μαθηματικά!

Παρασκευή, 17 Σεπτεμβρίου 2010

ΑΛΗΘΕΙΣ και ΨΕΥΔΕΙΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ


Α-Α-Α, Ψ-Ψ-Α!!!

Κατ’ εξαίρεση και κατόπιν της πρότασης του συναδέλφου ΜΧ, γράφω ένα μικρό μέρος από το μάθημα που έκανα σήμερα σε ένα τμήμα της Α’ Λυκείου, όπου ξεκινώντας το καινούριο βιβλίο, βρέθηκα, όπως πολλοί εξ ημών, να εξηγώ προτασιακούς τύπους, αναζητώντας τον καλύτερο δυνατό τρόπο… Δεν θα το πιάσω  από την αρχή της διδακτικής ώρας,  όπου φαντάζομαι πως  λίγο πολύ είναι  για όλους μας κοινή, με την αποσαφήνιση του όρου «λογική πρόταση» και τα σχετικά παραδείγματα και αντιπαραδείγματα, αλλά θα αρκεστώ μόνο σε εκείνο το σημείο που προκάλεσε τόσο σε μένα όσο και στα παιδιά- για διαφορετικούς λόγους- τη μεγαλύτερη έκπληξη. Φτάνω λοιπόν κάπου να λέω ότι:


«…Ξεκινώντας από έναν ψευδή ισχυρισμό, και ακολουθώντας εννόμες και συνεπείς διαδικασίες καταλήγουμε σε ένα ψευδές συμπέρασμα!

Δείτε το με ένα μαθηματικό παράδειγμα:

Έστω ότι είναι 4<3 (ψευδής υπόθεση).

Αν στην παραπάνω ψευδή υπόθεση εφαρμόσουμε τον γνωστό μας γενικό κανόνα:
Αν α < β, τότε α + γ < β + γ 

Θα καταλήξουμε στο συμπέρασμα: 4 + 5 < 3 +5 δηλαδή 9 < 8 (ψευδές συμπέρασμα)
Λοιπόν, πώς σας φαίνεται όλο αυτό; Τι πιστεύετε ότι είναι; Ψευδές ή Αληθές; »

Τα περισσοτέρα χέρια σηκώθηκαν. Η απάντηση κρινόταν στο 50-50 και εκεί διακυμάνθηκε, ώσπου ακολούθησε από την πλευρά μου το «γιατί;», που ακολουθεί πάντα, σε παρόμοιες περιπτώσεις. Εδώ ακούστηκαν διάφορα, από φαιδρά ή αδιάφορα έως και «σοφιστικέ», επηρεασμένα κατά πάσα πιθανότητα από το δικό μου επιτηδευμένα σοβαρό ύφος. Η πιο ενδιαφέρουσα απάντηση ήταν μιας μαθήτριας που με πυγμή ισχυρίστηκε ότι:

«Η πρόταση είναι ψευδής, επειδή το συμπέρασμα είναι ψευδές.»

Η συγκεκριμένη απάντηση μαρτυρά ότι δεν εκλαμβάνεται το πακέτο «Υπόθεση-Συμπέρασμα» ως ενιαίο σύνολο και πως η αλήθεια της πρότασης τελικά συνάγεται από την αλήθεια του συμπεράσματος και μόνο.

Μου δόθηκε έτσι η ευκαιρία να «βγω» από τα Μαθηματικά και τους κανόνες τους και να αναφερθώ σε θέματα που αφορούσαν μάλλον στην ηθική. Είπα αρχικά πως η παραπάνω λογική πρόταση είναι μια αναμφισβήτητη αλήθεια κι αφού έδωσα λίγο χρόνο για να το σκεφτούν επιχείρησα μιαν άλλη – μη μαθηματική αυτή τη φορά – προσέγγιση.

«Λοιπόν, ξεκινήσαμε από μια ψευδή υπόθεση, εφαρμόσαμε έναν κανόνα που ισχύει και καταλήξαμε σε ένα ψευδές συμπέρασμα. Όλο αυτό που κάναμε μοιάζει –και είναι – απόλυτα αληθινό. Θα προτιμούσατε ένα ψέμα μέσα από μια έννομη διαδικασία να μεταμορφώνεται σε αλήθεια; Για να σκεφτούμε λίγο πόσο δίκαιο και πόσο ηθικό θα ήταν κάτι τέτοιο; Πόσο ηθική μπορεί να είναι μια διαδικασία η οποία ξεκινάει από ένα ψέμα και εφαρμόζοντας πάνω του κάποιον αποδεδειγμένα γενικό κανόνα, έναν ας πούμε συνταγματικό νόμο,  καταλήγει σε αλήθεια;»

Φάνηκαν να προβληματίζονται και να καταλαβαίνουν πολύ καλά πως αφενός αντιμετωπίζαμε το θέμα όχι τμηματικά, «υπόθεση», «συμπέρασμα», αλλά ολιστικά «υπόθεση-συμπέρασμα» και αφετέρου πως η αλήθεια του όλου εξαρτιόνταν άμεσα από τον κανόνα που εφαρμόστηκε στη μετάβαση από την υπόθεση  στο συμπέρασμα.
Η κατανόηση από την πλευρά τους διαπιστώθηκε επί πλέον όταν ζήτησα να απαντήσουν στο επόμενο μαθηματικό παράδειγμα.

Υπόθεση: -4 < -3 (Α) /Πολλαπλασιασμός κατά μέλη με το (-1)/Συμπέρασμα: 4 < 3 (Ψ).

Απάντησαν σχεδόν ομόφωνα πως η πρόταση είναι ψευδής, επειδή ο κανόνας μετάβασης, δηλαδή ο πολλαπλασιασμός κατά μέλη μιας ανισότητας με έναν αρνητικό αριθμό, δεν εφαρμόστηκε σωστά.

Όσο δε για το P↔ Q, πιστεύω πως όταν  έχει κατανοηθεί επαρκώς το «αν P, τότε Q», αρκούν ένα ή δυο μαθηματικά παραδείγματα, συνοδευόμενα ίσως και από μια δυο αμφίδρομες χημικές αντιδράσεις, όπως: Η2+1/2 Ο2 ↔ Η2Ο!!

Ελπίζω πως μετά από όλα αυτά , θα έμαθαν το μάθημά τους….νεράκι!! Θα φανεί τη Δευτέρα :)

Το βέβαιο είναι πως η Λογική πρέπει να διδάσκεται περισσότερο, γιατί πέρα από το ότι δείχνει τι κάνουμε και γιατί το κάνουμε όταν ασχολούμαστε με τα Μαθηματικά, επιπλέον η κουβέντα  που ανοίγει γύρω από  διάφορα θέματα δίνει σ' αυτό το στυγνό, τυπικό και συχνά τρομακτικό μάθημα των Μαθηματικών μια πολύ ανθρώπινη διάσταση.

Τετάρτη, 15 Σεπτεμβρίου 2010

"Αν P, τότε Q"

Την επομένη της ημέρας του Αγιασμού, αφού διαβάστηκαν ξανά και ξανά οι χαιρετισμοί που, ως είθισται, απευθύνονται από την πλευρά των επισήμων, υπουργών, υφυπουργών, δημάρχων και κοινοταρχών, προς όλους τους μαθητές, τους γονείς και τους εκπαιδευτικούς, η πόρτα της τάξης ξανάκλεισε χωρίζοντας τον κόσμο μας σε εντός και εκτός σχολικής δραστηριότητας.
Τα πράγματα μπήκαν σε σειρά, σε όποια δηλαδή σειρά μπορούν να μπουν με τις τόσες ελλείψεις υλικού και προσωπικού, που όπως και κάθε χρόνο αντιμετωπίζουμε, αλλά αφενός δεν έχω σκοπό να ασχοληθώ με αυτήν την πολύ δυσάρεστη παράμετρο, αφετέρου στο σχολείο όπου διδάσκω λείπουν  λίγες μόνο ειδικότητες, ενώ  από αυτές που υπάρχουν μόνο μια δυο δεν επαρκούν...
Παρά τις δυσκολίες ωστόσο, το πρόγραμμα λειτουργεί, στο μέτρο που μπορεί να λειτουργήσει, κι έτσι στο πρώτο κιόλας  διήμερο των μαθημάτων είχα τη δυνατότητα να γνωρίσω όλους τους καινούριους μαθητές μας, αυτούς που αποφοίτησαν πέρυσι από το Γυμνάσιο, για να περάσουν το κατώφλι του Λυκείου και  "είναι οι πρώτοι οι οποίοι έχουν ολοκληρώσει στο Γυμνάσιο έναν πλήρη κύκλο διδασκαλίας των Μαθηματικών σύμφωνα με τα νέα αναλυτικά προγράμματα και διδακτικά βιβλία". Αυτούς που, επιπλέον, θα διδαχτούν πρώτοι την αναθεωρημένη έκδοση του βιβλίου της Άλγεβρας, το οποίο ξεκινάει με ένα σύντομο "Λεξιλόγιο της Λογικής"!
"ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ..."
Είχα χαρεί πάρα πολύ όταν πρωτοείδα στην αναθεωρημένη έκδοση του βιβλίου, αυτό το εισαγωγικό κεφάλαιο, επειδή πιστεύω ότι κάθε καινούρια γνώση πρέπει να ξεκινά από μερικές στοιχειώδεις συμβάσεις και άλλους τόσους θεμελιώδεις ορισμούς. Πιθανόν να διαφωνούν με τη θέση μου οι ένθερμοι υποστηρικτές της ανακαλυπτικής διαδικασίας  και της κοινωνικής κατασκευαστικής φύσης της μάθησης των Μαθηματικών, τις οποίες δεν αμφισβητώ, πλην όμως θεωρώ ότι έπονται μιας βασικής προϋπόθεσης, αυτήν της νοηματοδότησης, αλλά και της "ονοματοδότησης" των ιδιαίτερων και ιδιόρυθμων μαθηματικών οντοτήτων. Αυτός είναι άλλωστε ο λόγος για τον οποίον ξεκινώ σχεδόν κάθε χρονιά τα μαθήματα με το "γλωσσάρι" που χρειαζόμαστε και με τις "συμβάσεις" που θα κάνουμε, όχι τόσο διδάσκοντας όλες τις λέξεις που απαρτίζουν το γλωσσάρι, όσο τη σπουδαιότητα και τον τρόπο χρήσης του. Φέτος ειδικά, έχοντας ένα σχετικά καλό επίπεδο μαθητών, σκέφτηκα να καθιερώσω τις "γλωσσικές" δραστηριότητες, ενσωματώνοντάς τες στο κύριο μάθημα. Η σκέψη αυτή μου προέκυψε μόλις χθες στην πρώτη μου επαφή με τα παιδιά, όπου, αφού τελειώσαμε με τα  εισαγωγικά σχετικά με την προέλευση της Άλγεβρας, τη σημασία του ονόματός της, τον  Αλ Κουαρίζμι, την μετεξέλιξή της από την πρότερη ρητορική μορφή της, το αντικειμένο που εξετάζει κλπ, περάσαμε στις "διαγνωστικές ερωτήσεις" του τύπου:  Πώς ονομάζεται το "α+β", το "α*β", το "α^ν" , όπου, δυστυχώς οι λαθεμένες απαντήσεις  υπερσκέλισαν τις σωστές και η αδυναμία σαφούς και πλήρους διατύπωσης ήρθε για μιαν ακόμη φορά να τονίσει πως δίχως την καλή γνώση της ελληνικής δυσκολεύει σε μεγάλο βαθμό η ενασχόληση με τα Μαθηματικά, αλλά και τις θετικές επιστήμες γενικότερα. Άρα βασική προϋπόθεση είναι η διδασκαλία της γλώσσας, της φυσικής γλώσσας, αυτής με την οποία θα δομηθεί η στέρεη μαθηματική γνώση. Είναι μια "αναγκαία συνθήκη", όπως λέμε και στα Μαθηματικά, αλλά όχι και ικανή ταυτόχρονα. Δεν επαρκεί η σωστή χρήση της φυσικής γλώσσας,  επειδή, όπως έλεγε  ο Frege, "η φυσική γλώσσα δεν είναι ικανοποιητική για τις ανάγκες δόμησης μιας σημασιολογικής θεωρίας. Γι' αυτο ο Frege προχωρεί στην κατασκευή τεχνητών γλωσσών οι οποίες μπορούν να θεωρηθούν ως ιδεατό όριο της φυσικής γλώσσας (τυπικές και τυποποιημένες γλώσσες (formal, formalized languages)) για να καλύψει τις ανάγκες των επιστημών." *
 Επειδή η φυσική γλώσσα δεν επαρκεί, λοιπόν, η αναθεωρημένη έκδοση του βιβλίου της Άλγεβρας της Α' Λυκείου, ορθώς ξεκινά με το "ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ" και τους πολύ χρήσιμους ορισμούς, όπως της "συνεπαγωγής", που επί σειρά ετών ήταν το "απαγορευμένο σύμβολο", εξόριστο από τα σχολικά εγχειρίδια με αποτέλεσμα ή να χρησιμοποιείται από πολλούς λαθεμένα  αντ' αυτού το σύμβολο της ισοδυναμίας ή να γράφουμε σε σχήμα "ασύνδετο", τη μια ισότητα κάτω από την άλλη, σπαταλώντας άσκοπα χαρτί και αμαυρώνοντας το οικολογικό μας προφίλ..
Όμως, επειδή  η υπερβολική χρήση συμβόλων στη διδασκαλία των Μαθηματικών  μπορεί να οδηγήσει σε έναν στεγνό φορμαλισμό, σε μια ξύλινη και κούφια γλώσσα, όπου  οι έννοιες και οι μεταξύ τους σχέση χάνουν τη  σημασία τους και ελάχιστοι καταφέρνουν να σπάσουν τον κώδικά τους και να αποστάξουν τα πυκνά τους νοήματα, νομίζω πως το ζητούμενο είναι, πριν από όλα, η εύρεση  της  απαιτούμενης αναλογίας μεταξύ φυσικής και τυποποιημένης γλώσσας.
Ίσως σε κάποιους μαθητές η θέρμη που μπορεί να έχει η φυσική γλώσσα  επιφέρει  καλύτερα αποτελέσματα από το φοβικό σύνδρομο των "ιερογλυφικών" που γεμίζουν έναν πίνακα, χωρίς να αποκαλύπτουν κανένα απολύτως μυστικό. Για άλλους πάλι η αποκωδικοποίηση και η μεταφορά νοημάτων από τη μια γλώσσα στην άλλη μπορεί να αποτελεί ένα διασκεδαστικό παιχνίδι,  και για κάποιους, ελάχιστους, η ικανότητα υψηλής αφαίρεσης να επινοεί και επί πλέον εκφραστικά εργαλεία!
Η αξιολόγηση του επιπέδου των μαθητών και του συνόλου της τάξης είναι μια από της πιο "λεπτές" υποχρεώσεις του εκπαιδευτικού, όταν  μετά τον Αγιασμό, κι αφού  φιλήσει το χέρι του παπά και ακούσει τους λόγους των επισήμων,  κλείσει την πόρτα της σχολικής αίθουσας και βρεθεί ανάμεσα στους μαθητές του, οι οποίοι αν "δεν έχουν καλή γνώση της φυσικής τους γλώσσας", τότε "δεν θα  κατανοήσουν τη συμβολική γλώσσα", ήγουν "Αν  P, τότε  Q"...

------------------------------------------------------------------------------
* Γιώργος Ρουσόπουλος, "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΡΕΑΛΙΣΜΟΣ", εκδόσεις ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΓΡΑΜΜΑΤΑ

Σάββατο, 11 Σεπτεμβρίου 2010

ΑΡΘΡΟ 51: Η ΑΥΤΟΑΜΥΝΑ ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ, ΤΑ ΑΝΤΙΠΟΙΝΑ ΑΠΑΓΟΡΕΥΟΝΤΑΙ


Από το βιβλίο "11/9" του Noam Chomsky, που κυκλοφόρησε τον Νομέμβριο του 2001 από τις εκδόσεις ΑΓΡΑ, σε μετάφραση Σάββα Μιχαήλ, αντιγράφω δυο μικρά αποσπάσματα, τις ερωτήσεις δηλαδή που απηύθυνε ο δημοσιογράφος στον Chomsky και τις απαντήσεις που ο δεύτερος του έδωσε. 

 Σελίδα 85
Ερώτηση: Πολλοί λένε ότι σε όλη την Ιστορία, όταν ένα έθνος δέχεται επίθεση, τότε αντεπιτίθεται με τον ίδιο τρόπο. Ποια είναι η άποψή σας;

Απάντηση:  Όταν διάφορες χώρες δέχονται επίθεση προσπαθούν να υπερασπιστούν τον εαυτό τους, εάν μπορούν. Σύμφωνα με το προτεινόμενο δόγμα, η Νικαράγουα, το Νότιο Βιετνάμ, η Κούβα και πολυάριθμοι άλλοι θα έπρεπε να βάζουν βόμβες στη Ουώσιγκτον και σε άλλες αμερικανικές πόλεις, οι Παλαιστίνιοι θα έπρεπε να χειροκροτούνται για βομβιστικές ενέργειες στο Τελ Αβίβ και ούτω καθεξής. Είναι ακριβώς επειδή τέτοιου είδους δόγματα είχαν φέρει την Ευρώπη στην αυτοεκμηδένιση σχεδόν, μετά από εκατοντάδες χρόνια αγριότητας, που τα έθνη του κόσμου σφυρηλάτησαν ένα άλλο συμπαγές σύνολο μετά τον Β' Παγκόσμιο πόλεμο, εγκαθιδρύοντας - τουλάχιστον τυπικά - την αρχή ότι η καταφυγή στη βία απαγορεύεται, εκτός από την περίπτωση αυτοάμυνας ενάντια σε μια ένοπλη επίθεση, μέχρις ότου το Συμβούλιο Ασφαλείας δράσει για να προστατέψει τη διεθνή ειρήνη και ασφάλεια. Ειδικότερα, τα αντίποινα απαγορεύονται. Από τη στιγμή που οι ΗΠΑ δεν βρίσκονται κάτω από ένοπλη επίθεση, με την έννοια που της δίνει το άρθρο 51 του Χάρτη του ΟΗΕ, τέτοιου είδους σχέδια είναι ασύμβατα -
τουλάχιστον εάν συμφωνούμε ότι οι θεμελιακές αρχές του διεθνούς δικαίου θα έπρεπε να εφαρμόζονται και για μας, όχι μονάχα γι' αυτούς που δεν μας αρέσουν.
Βάζοντας κατά μέρος το διεθνές δίκαιο, έχουμε αιώνες εμπειρίας που μας λένε ακριβώς το ποια είναι η κατάληξη από τα προτεινόμενα τώρα δόγματα που εξυμνούν πολλοί σχολιαστές. Σε  έναν κόσμο με όπλα μαζικής καταστροφής, η κατάληξη θα ήταν ένας επικείμενος τερματισμός του ανθρώπινου πειράματος - και γι' αυτό το λόγο εξάλλου οι Ευρωπαίοι αποφάσισαν μισό αιώνα πριν ότι το παιχνίδι της αλλολοσφαγής, στο οποίο επιδίδονταν επί αιώνες, θα ήταν καλύτερα να τελείωνε για να αποφευχθούν τα χειρότερα.

Σελίδα 90
Ερώτηση:  Πιστεύετε ότι, καθώς οι συνθήκες θα επιτρέπουν μια πιο λεπτομερειακή εκτίμηση των εναλλακτικών λύσεων, η πλειονότητα των Αμερικανών θα δεχτεί πως η λύση στις τρομοκρατικές επιθέσεις κατά των αμάχων εδώ είναι να απαντήσει η Αμερική με τρομοκρατικές επιθέσεις κατά των αμάχων στο εξωτερικό και πως η λύση για το πρόβλημα του φανατισμού είναι η παρακολούθηση και η περιστολή των ελευθεριών των πολιτών;

Απάντηση:  Ελπίζω όχι, αλλά δεν θα πρέπει να υποτιμήσουμε την ικανότητα των καλά λειτουργούντων συστημάτων προπαγάνδας να σπρώξουν τους ανθρώπους σε ανορθολογική, δολοφονική και αυτοκτονική συμπεριφορά. Πάρτε ένα παράδειγμα που είναι αρκετά απόμακρο ώστε να μπορούμε να το κοιτάζουμε χωρίς μεγάλο πάθος: τον Α' Παγκόσμιο πόλεμο. Δεν ήταν δυνατόν και οι δύο πλευρές να διεξήγαν έναν ευγενή πόλεμο για τους ύψιστους σκοπούς. Κι όμως, και στις δύο πλευρές, οι στρατιώτες βάδιζαν στη αλληλοσφαγή με τρομερή έξαρση, δυναμωμένοι απο τις ζητωκραυγές των διανοούμενων και εκείνων που βοηθούσαν στην κινητοποίηση, σε όλο το εύρος του πολιτικού φάσματος, απο τα αριστερά ως τα δεξιά, συμπεριλαμβανομένης της ισχυρότερης πολιτικής δύναμης της Αριστεράς στον κόσμο, στη Γερμανία. Οι εξαιρέσεις ήταν τόσο λίγες που πρακτικά μπορούμε να κάνουμε τον κατάλογό τους και ορισμένες από αυτές κατέληξαν στην φυλακή, γιατί αμφισβήτούσαν τον ευγενή χαρακτήρα της όλης επιχείρησης: ανάμεσά τους η Ρόζα Λούξεμπουργκ, ο Μπέρτραντ Ράσσελ κι ο Ευγένιος Ντέμπς. Με τη βοήθεια των προπαγανδιστικών πρακτορείων του Ουίλσον και την ενθουσιάδη υποστήριξη των φιλελεύθερων διανοούμενων, μια φιλειρηνική χώρα μετατράπηκε μέσα σε λίγους μόνο μήνες σε μια χώρα που παραληρούσε απο αντιγερμανική υστερία, έτοιμη να πάρει εκδίκηση ενάντια σ' αυτούς που διέπρατταν άγρια εγκλήματα, πολλά από τα οποία είχαν εφευρεθεί απο το βρετανικό υπουργείο Πληροφοριών. Αλλά κάτι τέτοιο δεν είναι με κανέναν τρόπο αναπόφευκτο, και δεν πρέπει να υποτιμούμε τα εκπολιτιστικά αποτελέσματα των τελευταίων χρόνων.
Δεν είμαστε αναγκασμένοι να καλπάσουμε αποφασιστικά προς την καταστροφή μόνο και μόνο γιατί τέτοιες είναι οι εντολές που μας δίνουν.

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Ακριβώς!
 Δεν είμαστε αναγκασμένοι να καλπάσουμε αποφασιστικά προς την καταστροφή μόνο και μόνο γιατί τέτοιες είναι οι εντολές που μας δίνουν.
Ούτε οφείλουμε  να δεχόμαστε άκριτα την οποίου είδους προπαγάνδα, που μας οδηγεί σε ανορθολογικές, καταστροφικές και αυτοκτονικές συμπεριφορές!
Και τι είναι αυτό που θα μας καταστήσει ικανούς να ασκούμε ορθολογιστική κριτική στην προπαγάνδα και στα τεχνιέντως κατασκευασμένα φαινόμενα;
Πώς μπορεί το ανθρώπινο είδος να αυξήσει την φυσική του αντίσταση στην άγουσα και φέρουσα κατασκευασμένη ιδεολογία που  το εξολοθρεύει συστηματικά; 
Ο Chomsky δίνει απαντήσεις σε πολλά ερωτήματα, αλλά και ο καθένας από μας έχει τις δικές του απαντήσεις: ας καθήσει, λοιπόν, να  σκεφτεί, σήμερα που η μέρα  το απαιτεί...
--------------------------------------------------------------------------------------------

Κυριακή, 5 Σεπτεμβρίου 2010

Η ΕΠΙΒΙΩΣΗ ΕΙΝΑΙ ΘΕΜΑ ΣΩΣΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ!

Η  "επιβίωση"  είναι  θέμα σωστής εκπαίδευσης! Κι αν πιστεύετε πως στις δικές μας μέρες  οι κοινωνικές δομές είναι τέτοιες, ώστε να επιβιώνουν κι αυτοί που δεν έχουν την σωστή εκπαίδευση, οφείλετε τουλάχιστον να δεχτείτε πως υπήρξε μια μεγάλη περίοδος στην ιστορία του είδους μας, ή καλύτερα του προ-είδους μας, όπου το αν θα επιβίωνε κανείς εξαρτιόνταν πρωτίστως από την κατάλληλη εκπαίδευσή του.
Διαβάστε προσεκτικά τι λέει ο Έρνεστ και είμαι βέβαιη πως θα συμφωνήσετε απόλυτα μαζί μου:

Ο δεύτερος τομέας της εκπαίδευσής μας αφορούσε τη σχολαστική μελέτη των ζώων που κυνηγούσαμε και αυτών που μας κυνηγούσαν. Έπρεπε να μάθουμε που ζούσαν, με τι τρέφονταν, πώς περνούσαν τον καιρό τους, πώς μύριζαν και να καταλαβαίνουμε τη γλώσσα τους. Από πιτσιρίκια ακόμα ξεχωρίζαμε το πάτημα του λιονταριού, πώς ξερόβηχε η λεοπάρδαλη, το ποδοβολητό της στρουθοκαμήλου, το σάλπισμα του ελέφαντα, το ρουθούνισμα του ρινόκερου, την πένθιμη στριγκλιά της ύαιανας. Μάθαμε γιατί οι ζέβρες και τα άλογα τολμούσαν να χλιμιντρίζουν τόσο δυνατά ενώ τα ιμπάλα και οι γαζέλες δεν ακουγόντουσαν. Απρόσβλητες πάνω στα δένδρα, οι μαϊμούδες κουβέντιαζαν μεταξύ τους, το ίδιο κάναμε κι εμείς στο έδαφος, κρατώντας τα ακόντιά μας. Οι αγέλες όμως, περιζωσμένες από χιλιάδες εχθρούς, μετακινούνταν αθόρυβα. Μάθαμε να βρίσκουμε τα αυγά του κροκόδειλου και της χελώνας και πώς ν' αρπάζουμε από τα πουλιά τα μικρά τους. Ξέραμε πού να ξετρυπώσουμε το σκορπιό και πώς να πετάξουμε την ουρά του, πριν τον φάμε.
Μελετήσαμε επίσης Βοτανική.  Υπάρχουν φρούτα και μανιτάρια και ρίζες που μπορούν να φαγωθούν. Άλλα πάλι όχι. Οι πρωτοπόροι της Λίθινης Εποχής θυσίασαν τη ζωή τους για να προσδιορίσουν με ακρίβεια ποια είναι φαγώσιμα και ποια φονικά. Βλέπετε το ένστικτο είχε ατροφήσει πια σε μας και δεν λειτουργούσε προειδοποιητικά. Έπρεπε να μάθουμε τη βασική διαφορά ανάμεσα στην ταπιόκα που τρέφει και σε αυτή που σκοτώνει. Έπρεπε να μπορούμε να ξεχωρίζουμε τα απαγορευμένα φρούτα και να μην πλησιάζουμε το δένδρο Acocanthera abyssinica με τον θανατηφόρο χυμό.

Θα καταλάβατε φυσικά ότι ο Έρνεστ δεν είναι ο άνθρωπος της διπλανής μας πόρτας! Ούτε καν της παραδιπλανής! Απέχει πολύ από μας, αφού πρόκειται για έναν Homo Erectus, που έζησε  σε μια εποχή που ονομάζεται Πλειστόκαινη  και προηγείται  της δικής μας περίπου  1,5 εκατομύρια χρόνια.

Ο Έρνεστ, ο οποίος τόσο  νατουραλιστικά μας περιγράφει τον δεύτερο τομέα της εκπαίδευσής του είναι ο γιος του Έντουαρντ, του ανθρωποπίθηκου, που χάρη στη δική του επιμονή  οι απόγονοι του κατέβηκαν από τα δένδρα και στάθηκαν στο ανάστημα που τους εξασφάλιζε το βάδισμα στα δυο πόδια!
Σε αντίθεση με τον συντηρητικό, φυσιολάτρη, αδερφό του, τον Βάνυα, που παραμένει ένθερμος υποστηρικτής της πιθηκοκεντρικής τους υπόστασης και διακηρύττει ακάματα το Back to the trees, σε όσους έχουν βάλει πλώρη για την εξέλιξη, η ηγετική μορφή του Έντουαρντ χαράζει πορεία προς την πρόοδο και αγωνίζεται να ανάψει φωτιά! Όχι  απλά να μεταφέρει τη φλόγα που ανάβει στις δάδες από τη λάβα των ηφαιστείων,  αλλά να ανάψει φωτιά ex nihilo, όταν θέλει κι εκεί που θέλει. Όταν ο Βάνυα βλέπει τον αδερφό του να τρίβει πυρόλιθους πασχίζοντας να εξελιχθεί σε...αυτόνομο πυροτεχνουργό, αγανακτεί: "Σταμάτα πριν προκαλέσεις καμιά αλυσιδωτή αντίδραση", του λέει και θυμωμένος επιστρέφει  ξανά στο δένδρο του.

Όλα αυτά κι άλλα πολλά, διασκεδαστικά, επιμορφωτικά και ψυχαγωγικά συμβαίνουν στο βιβλίο  "THE EVOLUTION MAN OR, HOW I ATE MY FATHER", που έγραψε ο  Roy Lewis το 1960 και κυκλοφόρησε φέτος από τις εκδόσεις ΑΓΡΑ ΑΕ με τον (μακάβριο) τίτλο "ΓΙΑΤΙ ΕΦΑΓΑ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΜΟΥ"!
Το αγόρασα χθες, αλλά δεν κατάφερα πριν το τελειώσω να το αφήσω από τα χέρια μου.. 
Διαβάζοντάς το,  γέλασα αρκετές φορές τρανταχτά προκαλώντας τα σχόλια των υπολοίπων στο σπίτι...Άλλες τόσες φορές η περιέργεια με έσπρωξε  να αναζητήσω στο google κάποια συμπληρωματικά στοιχεία.   Αυτό όμως που κατά κόρον έκανα, καθώς διάβαζα το βιβλίο του Lewis, ήταν να σημειώνω σελίδες και παραγράφους από την αφήγηση του γλυκούλη Έρνεστ, με θέματα που θα ήθελα πολύ να κουβεντιάσω με τους μαθητές μου, έξω από την τυπική διαδικασία του μαθήματός μας, σε εκείνο τον τομέα της άτυπης εκπαίδευσής τους  που αποβλέπει πρωτίστως στην  επιβίωσή τους, εκεί όπου αποβλέπει και το δεύτερο επίπεδο  εκπαίδευσης του Έρνεστ, όπως περιγράφεται από τον ίδιον παραπάνω.!
Αν και δεν θα μπορούσε  κάποιος να ισχυριστεί πως οι νέοι μας  κινδυνεύουν σήμερα από τον θανατηφόρο χυμό του δένδρου Acocanthera abyssinica, όπως οι πρωτοπόροι της Λίθινης Εποχής, ωστόσο, και αποφεύγοντας κάθε μορφή κινδυνολογίας, δεν μπορούμε  να μην δεχτούμε πως  οι κίνδυνοι είναι πολλοί και απρόβλεπτοι και αυτό που οφείλουν να κάνουν τόσο ο γονιός όσο και ο δάσκαλος είναι να διδάξουν πρωτίστως πως η επιβίωση και σήμερα, όπως και 1,5 εκατομύρια χρόνια πριν, είναι εν τέλει θέμα σωστής εκπαίδευσης! 

Σάββατο, 4 Σεπτεμβρίου 2010

"Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;"

Σήμερα το πρωί συνάντησα τυχαία έναν παιδικό μου φίλο, τον Λ, με τον οποίον  είχαμε πολύ καιρό να τα πούμε. Στον ελάχιστο χρόνο της συνομιλίας μας, ένα - και μόνο ένα - ήταν το κυρίαρχο θέμα της κουβέντας  και αφορούσε στην αμφισβήτηση που εκφράζει,  ως τελειόφοιτος - μαθητής δηλαδή της Γ΄Λυκείου - ο γιος του! Στο ύφος του Λ διέκρινα εκείνη την αγωνία που διακατέχει τον καθένα από μας μπροστά στα "τι" και τα "γιατί" των παιδιών, ειδικά δε όταν οι απαντήσεις που αναζητούμε βρίσκονται σε περιοχές που δεν μπορούμε να προσεγγίσουμε. Και ο Λ έχει απόλυτο δίκαιο να νιώθει έτσι όταν ο γιος του, ο οποίος,  ως γνήσιος εκπρόσωπος της γενιάς του, αμφισβητεί τη χρησιμότητα της γνώσης, θέτοντάς του ερωτήματα, όπως: "Γιατί να μάθω εγώ τους φανταστικούς αριθμούς;  Γιατί να μαθαίνω άχρηστα πράγματα;  Εδώ τους κανονικούς αριθμούς δε χρειαζόμαστε, θα χρειαστούμε αυτούς που  μόνο στη φαντασία μας υπάρχουν...". Ο Λ, όπως και οι περισσότεροι γονείς, αδυνατεί να απαντήσει με τρόπο ικανοποιητικό, ώστε  να μεταπείσει τον γιο του για τη χρησιμότητα της γνώσης, και ο νέος, όπως οι περισσότεροι νέοι,  μένει με την εντύπωση πως κάνει χάρη στο γονιό του, στους δασκάλους του και σε όλη την κοινωνία, επειδή χάνει - όπως πιστεύει -  το χρόνο του μαθαίνοντας τη φανταστική μονάδα i, την οποίαν οι μαθηματικοί, αλλά και όλοι οι επιστήμονες, την έχουν περί πολλού, για λόγους που έχω ξαναγράψει σε διάφορες παλαιότερες αναρτήσεις. Ωστόσο, η σύντομη κουβέντα μου με τον Λ γέννησε στο μυαλό μου δυο σκέψεις ταυτόχρονα.
Η μια σκέψη μου είχε να κάνει με το βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη, "Άπό την παράνοια στους Αλγορίθμους", όπου στις σελίδες 180-186 υπάρχει μια στιχομυθία μεταξύ του Γ.Ε. και του συγγραφέα για τη φανταστική μονάδα, αυτήν που τόσα δεινά προκαλεί στο φίλο μου Λ, καθώς τον φέρνει αντιμέτωπο με έναν αμφισβητία νεαρό που δεν αναχαιτίζεται... Για να συμμεριστώ την αγωνία του Λ και να τον στηρίξω μερικώς,  αντιγράφω ένα μικρό μέρος από τον διάλογο για τους φανταστικούς αριθμούς, που είναι αφάνταστα διασκεδαστικός και ..."παραπλεύρως" διδακτικός:

-Απάντησέ μου εσύ, ο απόφοιτος ενός παραδοσικού ελληνικού λυκείου...Ή μάλλον όχι, ας το διερευνύσουμε μαζί. Θέλω να ψάξουμε να βρούμε τη λύση της εξίσωσης χ^2+1=0. Μήπως μπορεί να είναι το 1;
-Όχι. Το 1 στο τετράγωνο είναι πάλι ένα, και αν προστεθεί και στο 1 κάνει 2, και όχι 0.
-Ωραία. Άρα θέλουμε έναν αριθμό ο οποίος στο τετράγωνο να είναι πόσο;
-Πλην 1.
-Λαμπρά. Αν δοκιμάσουμε τώρα το χ να είναι ίσο με πλην 1.Το πλην 1 στο τετράγωνο κάνει πάλι 1, έτσι δεν είναι;
-Ακριβώς Σωκράτη.
-...Γιατί εδώ έχουμε κάποιους συγκεκριμένους κανόνες, έτσι δεν είναι; Τους μαθαίνουμε στα πρώτα μαθήματα της άλγεβρας, στο γυμνάσιο, ότι "συν επί συν ίσον συν", και "πλην επί πλην ίσον συν". Καθώς λοιπόν ένας αριθμός στο τετράγωνο σημαίνει το ίδιο πρόσημο επί το ίδιο, όποιο και αν είναι το πρόσημο ενός αριθμού, το τετράγωνο θα είναι πάντα θετικό, συν. Άρα, στην εξίσωση χ^2+1=0 τι γίνεται;
-Με αυτήν την έννοια δεν υπάρχει λύση.
-Αυτό ακριβώς λένε οι καθηγητές του γυμνασίου και του λυκείου στα παιδιά, σήμερα, μέχρι και τη δευτέρα λυκείου: "Η εξίσωση αυτή δεν έχει λύση". Σε αυτή ακριβώς την απάντηση μας οδηγούν οι κανόνες. Μάλιστα, ένας μαθητής της πρώτης λυκείου, που τον ρώτησα τελευταία ποια είναι η λύση της εξίσωσης, μου είπε επί λέξει,  ότι "δεν έχει λύση γιατί η ποσότητα κάτω από τη ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητική". Προφανώς,  μου διατύπωνε τον κανόνα.
-Βέβαια μετά μαθαίνουμε ότι η λύση της εξίσωσης είναι το γιοτ.
-Ποιο γιοτ; Απέκτησες σκάφος και δεν το ξέρω;
-Το γιοτ, παιδί μου, πώς το λένε; Ο φανταστικός αριθμός.
-"Φανταστικός" αριθμός είπες; Τι είναι ετούτο πάλι;
-Έλα τώρα! Η τετραγωνική ρίζα του πλην 1!
-Μα είπαμε ότι αυτή δεν υπάρχει!
-Ναι, και γι' αυτό λέμε το γιοτ φανταστικό αριθμό.
-Γιατί δηλαδή; Εξήγησέ το.
-Γιατί δεν υπάρχει.
-Δηλαδή η τετραγωνική ρίζα του πλην 1 είναι ένας αριθμός που δεν υπάρχει;
-Ναι!
-Καλά με δουλεύεις;
-...Εντάξει, εντάξει, έχε χάρη που έχω αναλάβει να κάνω τον άσχετο, γιατί θα σου 'λεγα!
-Και βέβαια είσαι άσχετος! Άκου ξανά τι είπαμε: "Ποια είναι η λύση;"_"...Το γιοτ"_"Τι είναι το γιοτ;"__"Φανταστικός αριθμός"_"Γιατί το λες φανταστικό;"_"Γιατί δεν υπάρχει!"
Σου φαίνονται φυσιολογικές οι απαντήσεις σου;
-Τι να σου πω τώρα; Ζήτα τον λόγο από τον κύριο Ξενόπουλο:
-...Τον Γρηγόριο;
-Όχι, άνθρωπέ μου, τον Περικλή, τον καθηγητή μου των μαθηματικών στο σχολείο, αυτός μου το έμαθε το γιοτ! Αλλά ο καημένος τι φταίει; Κάπου θα τον άκουσε κι αυτός, δεν το 'βγαλε από το κεφάλι του...
-Ακριβώς έτσι είναι. Αυτό το τόσο παράλογο πράγμα, περί "φανταστικών αριθμών", το διδάχτηκε ο κύριος Ξενόπουλος, και πάμπολλοι άλλοι, στο πανεπιστήμιο. Κι αυτοί που του το δίδαξαν, πάλι από κάποιους άλλους το ακούσανε, από τους δικούς τους δασκάλους, κι αυτοί απ' τους δικούς τους και πάει λέγοντας, μέχρι που φτάσαμε πίσω στο δέκατο έκτο αιώνα, όπου ένας ιταλός μαθηματικός ο Τζιρόλαμο Καρντάνο (Girolamo Cardano) μιλάει για πρώτη φορά για τους αριθμούς που αποκαλεί "σοφιστικούς"
-"Σοφιστικούς"; Ενδιαφέρουσα ονομασία!
-Για να δούμε, πώς ορίζει ο Μπαμπινιώτης τη "σοφιστεία"...
(Από το λεξικό) "Ο ηθελημένα εσφαλμένος, αλλά και λογικοφανής συλλογισμός, που οδηγεί σε παραπλανητικά συμπεράσματα". Κατά συνέπεια, καλύτερη ονομασία δεν θα μπορούσε να βρει ο Καρντάνο: ορίζει ως "σοφιστικούς αριθμούς" κάποιες ποσότητες για τις οποίες λέει, εν γνώσει της αναλήθειας της υπόθεσης, ότι τετραγωνιζόμενες δίνουν το πλην 1. Βέβαια, αυτός τις εισάγει στο φημισμένο του εγχειρίδιο της άλγεβρας ως τέχνασμα, κατά κάποιον τρόπο, για να καταλήξει χρησιμοποιώντας τες σε λύσεις εξισώσεων με αριθμούς πραγματικούς _ που υπάρχουν....

Και ο διάλογος συνεχίζεται εξηγώντας πως η παραδοχή της ύπαρξης του ανύπαρκτου i = √-1, που βεβαίως αρχικά  αποτελεί παράβαση του κανόνα, (πως δηλαδή η ποσότητα κάτω από την ρίζα δεν μπορεί να είναι αρνητική), καθώς υιοθετείται ολοένα και από περισσότερους επιστήμονες της εποχής, εν τέλει  νομιμοποιήθηκε και στην πορεία του χρόνου αποδείχτηκε ένα από τα χρησιμότερα εργαλεία των μαθηματικών και της σύγχρονης τεχνολογίας, της τεχνολογίας  που διαμορφώνει την καθημερινότητά μας και τον πολιτισμό μας εν γένει..
Και συνεχίζοντας τον διάλογο μεταξύ των δύο φίλων ο Απόστολος Δοξιάδης, αφού αναφέρει πολλούς από τους μαθηματικούς που εμπλέκονται στην θεμελιώση και αναπτύξη των φανταστικών και μιγαδικών αριθμών, προχωράει στην ιστορία του πέμπτου αιτήματος του Ευκλείδη, σύμφωνα με το οποίο: "εκ σημείου εκτός ευθείας άγεται μία και μόνον μια παράλληλος προς την ευθεία", και το οποίο αποτελεί μια άλλη μεγάλη περιπέτεια στην αναζήτηση των θεμελίων των μαθηματικών και στο χτίσιμο του μαθηματικού οικοδομήματος, που, στην ουσία, αποτελεί το θεμέλιο όλης της τεχνολογίας και της τεχνογνωσίας που διαθέτουμε σήμερα.
Και καθώς ανέφερα τον Ευκλείδη, θυμήθηκα τη δεύτερη σκέψη που έκανα ακούγοντας τον φίλο μου, τον Λ, να μου περιγράφει τις αδιέξοδες κουβέντες του με τον γιο του, καθώς το παιδί αμφισβητεί τη χρησιμότητα της γνώσης που αποκτά στο σχολείο, ακριβώς όπως έκανε κάποτε και ο μαθητής του Ευκλείδη, καθώς μαρτυρά το παρακάτω κείμενο:


Έτσι, λοιπόν, φίλε Λ, έχεις θαρρώ δυο επιλογές. Ή για κάθε θεώρημα που θα μαθαίνει ο γιος σου θα του δίνεις "τριώβολον", όπως έκανε ο Ευκλείδης με τὸν παῖδα  ή θα διαβάσεις το βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη, "Από την παράνοια στους αλγορίθμους, η 17η νύχτα και άλλες διαδρομές", για να αντλήσεις  επιχειρήματα και να μπορείς να εξηγήσεις στο νεαρό πως η ανθρωπότητα, ο πολιτισμός, η ιστορία, οι ιδέες, δεν ξεκινούν με τη δική του γενιά και - ελπίζω κι εύχομαι - ούτε με τη δική του θα τελειώσουν!

Είναι αναμφιβόλως δύσκολο να διδάξουμε την χρησιμότητα της γνώσης, αλλά πιστεύω, πως είναι ένα από τα θέματα που πρέπει να διδάξει κανείς στα παιδιά του,  πριν ακόμη και από την ίδια τη γνώση..
Κι αυτό ας μην το περιμένουμε μονάχα από τους δασκάλους...

Καλή σχολική χρονιά σε όλους τους γονείς που αντιμετωπίζουν τα ίδια προβλήματα με τον Λ..:)