Κυριακή, 2 Δεκεμβρίου 2012

"ΑΣΚΗΣΗ BONUS": κόντρα στα εμπόδια της διαίσθησης.

Μερικές φορές είναι δύσκολο να διδάξεις μια καινούρια μαθηματική έννοια, όχι τόσο λόγω της εγγενούς δυσκολίας της έννοιας αυτής καθεαυτής, όσο λόγω των αντιλήψεων που έχουν διαμορφώσει οι μαθητές γύρω από τη συγκεκριμένη έννοια. Οι αντιλήψεις αυτές αποτελούν, όπως λένε οι ειδικοί, διδακτικό εμπόδιο*, το οποίο πρέπει να λαμβάνει υπόψη ο δάσκαλος, ώστε- προκαλώντας "γνωστική σύγκρουση"- να το υπερπηδά και να δίνει τη δυνατότητα στο  μαθητή να διαμορφώνει μια νέα, ορθή, αντίληψη και μια νέα γνωστική δομή, έτοιμη να ... υποδεχτεί και να ενσωματώσει την καινούρια γνώση.
Μιλώντας εκ πείρας θα έλεγα ότι η διαδικασία αυτή είναι από τις πιο δύσκολες προκλήσεις που έχει να αντιμετωπίσει ο εκπαιδευτικός, όταν σχεδιάζει ένα μάθημα, θέλοντας να δημιουργήσει τις κατάλληλες συνθήκες που θα οδηγήσουν τους  μαθητές σε κάποιας μορφής αντιφάσεις και θα έχουν ως αποτέλεσμα τη "γνωστική σύγκρουση". 
Προσωπικά ενθουσιάζομαι πάντα από αυτή η διαδικασία και, θα μπορούσα με κάποιες επιφυλάξεις να πω, τη βιώνω στην τάξη μου ως...θεατρική παράσταση, με πρωταγωνιστές τους μαθητές μου, σε ένα σενάριο που επιλέγω εγώ. Όταν πετυχαίνει το "διδακτικό πείραμα", κάτι που δεν εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από το σενάριο ή από τις δικές μου προθέσεις και παρεμβολές, το αποτέλεσμα είναι ιδιαίτερα ευχάριστο και "διεγερτικό" για όλους τους συμμετέχοντες, συμπεριλαμβανομένης και εμού της ιδίας! :)
Έχω σταθμίσει, κατά το δυνατόν, τους παράγοντες που επηρεάζουν αρνητικά ένα τέτοιο εγχείρημα, και έχω καταλήξει στο συμπέρασμα πως σημαντικό ρόλο στην επιτυχία του πειράματος παίζουν: η μέρα της εβδομάδας, η ώρα της μέρας, (την 1η ώρα οι μαθητές,  σπανίως αφυπνησμένοι στο 100% των δυνατοτήτων τους, δεν ανταποκρίνονται -στο σύνολό τους- άμεσα σε προκλήσεις, ενώ η 2η, η 3η και η 4η ώρα είναι οι πλέον παραγωγικές και λειτουργικές ώρες διδασκαλίας), ο καιρός που δρα καταλυτικά. Όταν είναι μουντός και βροχερός καταστέλλει τις πνευματικές διεργασίες. :)
Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω, κατέληξα στο συμπέρασμα πως την Παρασκευή, την 3η ώρα που μπαίνω στο ΒΘ2, οι συνθήκες συνηγορούν για την επιτυχή έκβαση πειραμάτων, τα οποία βέβαια δεν αποκαλώ "πειράματα", αλλά "ασκήσεις bonus"! Τι είναι μια άσκηση bonus; Είναι μια άσκηση, μέτριας δυσκολίας συνήθως, της οποίας η λύση βασίζεται σε θεωρία ή μεθοδολογία που δεν έχει μέχρι εκείνη τη στιγμή διδαχτεί, αλλά πρόκειται να διδαχτεί εντός των επόμενων ημερών. Η άσκηση γράφεται στη δεξιά μεριά του πίνακα, παραμένει εκεί καθ' όλη τη διάρκεια του μαθήματος και οι μαθητές καλούνται να τη λύσουν στη διάρκεια της μέρας και να μου τη φέρουν πριν το σχόλασμα. Η συμμετοχή είναι προαιρετική και όποιος τη φέρει σωστά λυμένη παίρνει bonus, που πάει να πει "προσαύξηση" προκαθορισμένου ποσοστού, στο βαθμό που θα πάρει στο επόμενο τεστ.
Έχοντας κάνει στο συγκεκριμένο τμήμα πέντε ασκήσεις bonus από την αρχή της χρονιάς, κι ενώ οι μαθητές συμμετέχουν ολοένα και περισσότερο, αντιμετωπίζοντάς το πλέον ως παιχνίδι και ως πρόκληση, διαπιστώνω ότι η διαδικασία αυτή συμβάλλει σε μεγάλο βαθμό στον εντοπισμό όχι μόνο των διδακτικών εμποδίων, αλλά και των εμποδίων που η ίδια η διαίσθησή μας συχνά βάζει, περιορίζοντας την αντιληπτική μας ικανότητα.

Την Παρασκευή, 30 του Νοέμβρη, ο ήλιος -σε συνδυασμό με το πολλά υποσχόμενο Σαββατοκύριακο- έκανε τη διάθεση των μαθητών μου εξαιρετικά πρόσφορη για πνευματική δραστηριότητα. Έλυναν γρήγορα γρήγορα τις ασκήσεις που βασίζονταν στον ορισμό και την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου, που ούτως ή άλλως είναι από τις ευκολότερες σε σχέση με όσες προηγήθηκαν στα διανύσματα. Η αυξημένη ταχύτητα στην επίλυση των ασκήσεων του προγραμματισμένου μαθήματος άφηνε στους περισσότερους ελεύθερο χρόνο, με αποτέλεσμα αρκετοί να ασχολούνται παράλληλα με την άσκηση bonus που είχα ήδη γράψει στην πάνω δεξιά γωνία του πίνακα.
Όπως ήταν αναμενόμενο σιγά σιγά άρχισαν να μου κάνουν ερωτήσεις, οι πιο αβέβαιοι, και συστάσεις, οι έχοντες αυξημένη μαθηματική αυτοεκτίμηση:. "Κυρία, σίγουρα βγαίνει τόσο;" ή "Κυρία, διορθώστε το, είναι 6 όχι -6, λάθος το γράψατε".
Θέλοντας να επιτείνω τις αντιδράσεις δεν απαντούσα σε όσα έλεγαν κι ενώ οι διαμαρτυρίες συνεχίζονταν και τα επιχειρήματά τους άρχισαν να ξεδιπλώνονται με μορφή ερωτήσεων: "Το συνημίτονο των 60 μοιρών 1/2 δεν είναι;", "Οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου 60 μοιρών δεν είναι;", άρχισα κι εγώ να συναινώ και να συμφωνώ μαζί τους, πως έχουν απόλυτο δίκαιο και για το συνημίτονο των 60 μοιρών και για τις γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου.  Κι όσο συμφωνούσα εγώ, τόσο οι μαθητές, νιώθοντας δικαιωμένοι, διαμαρτύρονταν εντονότερα: "Και τότε πώς βγαίνει -6 το αποτέλεσμα, κυρία;" Στην κορύφωση του μυστηρίου δυο μαθήτριες ακούστηκαν πασιχαρείς, ωσάν γνήσια τέκνα του Αρχιμήδη, να αναφωνούν:  "Το βρήκαμε! Το βρήκαμε! Είναι -6!". Πήγα στο θρανίο τους και είδα πώς είχαν αντιμετωπίσει την άσκηση. Σε μια σελίδα με αρκετές μουντζούρες κάπου εκεί στις κάτω γραμμές υπήρχε η αλγεβρική επίλυση της άσκησης:

 "Στην αρχή βρήκαμε κι εμείς +6, αλλά μετά το κάναμε αλγεβρικά και μας βγήκε -6!", μου είπαν μες στην τρελή χαρά τα δυο κορίτσια . Τα μάτιά τους αντανακλούσαν  την ικανοποίηση, που νιώθει κανείς όταν ξεπερνά είναι ... μαθηματικό εμπόδιο, μια παραδοξότητα, ένα δυσνόητο σημείο που έρχεται σε αντίθεση με τη διαίσθηση!
Στο μεταξύ οι υπόλοιποι, που είχαν εφαρμόσει τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου, παίρνοντας

συνέχιζαν να διαμαρτύρονταν, μη έχοντας ακόμη εντοπίσει που είχαν κάνει λάθος! 
Η παρέμβαση της διαίσθησης στη διαμόρφωση αντιλήψεων είναι τόσο ισχυρή που όταν προκύψει ένα τέτοιο ... ανεξήγητο φαινόμενο(!) δημιουργεί μεγάλη σύγχυση.
Χρειάστηκε να εξηγήσω περισσότερες από μία φορές ότι τα διανύσματα δεν σχημάτιζαν μεταξύ τους γωνίες 60 μοιρών, αλλά 120 μοιρών, επειδή με τον τρόπο  που τα είχε ονομάσει η άσκηση ήταν διαδοχικά διανύσματα και όχι διανύσματα με κοινή αρχή!

Η άσκηση bonus την Παρασκευή πέτυχε 100% τον σκοπό της! 
Προετοίμασε το έδαφος για να κατανοήσουμε τη μεθοδολογία επίλυσης γενικότερων ασκήσεων της ίδιας μορφής, όπως για παράδειγμα η άσκηση 4 στη σελίδα 49 του σχολικού εγχειριδίου. 
Από την άλλη ανέδειξε τη δύναμη της Άλγεβρας και την ισχύ των στοιχειωδών αλγεβρικών εργαλείων που χρησιμοποιούμε στα σχολικά μαθηματικά. :)

 Κυρίως όμως, αυτό που πέτυχε την προηγούμενη Παρασκευή η άσκηση bonus ήταν να μας αποδείξει για μιαν ακόμη φορά πόσο απατηλή μπορεί να γίνεται η διαίσθησή μας γενικά..
Και τελικά αν κάτι μαθαίνουμε στο σχολείο από τα Μαθηματικά είναι να εξετάζουμε λογικά και τυπικά τα προβλήματα και να μη μένουμε στα ... διαισθητικά! :)
Μακάρι να μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τόσο αλάνθαστες μεθόδους στα ....νομικά και στα πολιτικά!

-----------------------------------------------------------------------------------------
* Περισσότερες πληροφορίες τόσο για τα διδακτικά εμπόδια, όσο και για τα επιστημολογικά και τα γνωστικά μπορεί να βρει κανείς στο άρθρο των Π. Κωσταρέλη και Α. Μαρκέτου, "ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ: Γιάννη Χ. Θωμαΐδη: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΕΜΠΟΔΙΑ ΜΑΘΗΣΗΣ (Η περίπτωση της απόλυτης τιμής) Διδακτορική διατριβή", που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Διάσταση, τεύχος 3-4, σελ. 89-102, του παραρτήματος Ε.Μ.Ε. Κεντρικής Μακεδονίας, το 1996.

4 σχόλια:

  1. Για πρακτικούς λόγους της τήρησης του αρχείου σχολίων θα μεταφέρω εδώ όσα γράφονται στο facebook,ως σχόλια.

    Fotis Stavridis:
    πόσο συχνά εμφανίζεται πάντως αυτό το κύριε/κυρία έχετε κάνει λάθος


    Karagiannis Kosmas:
    :)ευστοχο το προηγουμενο σχολιο, η πρωτοβουλια κ η ιδεα παντως ειναι πραγματικα αξιεπαινη!

    Katerina Kalfopoulou:
    Ευχαριστώ! Είναι παρήγορο το ότι συχνά εμφανίζεται αυτό το "κύριε/κυρία έχετε κάνει λάθος", με την προϋπόθεση βέβαια ότι δεν έχει κάνει λάθος ο κύριος ή η κυρία που διδάσκει, αλλά η ένσταση οφείλεται στην "άλλη άποψη" των μαθητών. :) Μερικές φορές αυτή ή άλλη άποψη δίνει πρόσφορο έδαφος για την ανάπτυξη αλληλεπιδραστικών διαδικασιών διδασκαλίας. :) Είμαστε τυχεροί, νομίζω, που κάνουμε τη δουλειά που κάνουμε.
    Να είσαστε καλά, αγαπητοί συνάδελφοι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

  2. απιστευτο αρθρο!!! και ενω το διαβαζα σταματησα και την ελυσα και εγω εφοσον βρισκομαστε κι εμεις εκει!

    Ctavroulaki Doubala

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Εξαιρετική άσκηση και εξαιρετικός τρόπος να ενεργοποιήσεις τους μαθητές της τάξης σου. Χίλια μπράβο!

    ΑπάντησηΔιαγραφή