Κυριακή, 20 Ιανουαρίου 2013

"ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΤΗΣ ΖΩΗΣ"

Η "ζωή", όπως λέγεται το παιχνίδι, παίζεται με μάρκες που τοποθετούνται σε ένα τετραγωνικό πλέγμα. Στην αρχή οι μάρκες δημιουργούν πάνω στο πλέγμα έναν συγκεκριμένο σχηματισμό, που αποτελεί και την αρχική κατάσταση του αυτομάτου. Έπειτα, εφαρμόζονται λίγοι απλοί κανόνες, που αφορούν τον αριθμό των άμεσων γειτόνων κάθε μάρκας, και προκύπτει ο επόμενος σχηματισμός. Οι κανόνες διέπουν την επιβίωση, τη γέννηση και τον θάνατο κάθε μάρκας. Οι νεκρές μάρκες αφαιρούνται από το πλέγμα, οι νεογέννητες προστίθενται, ενώ οι υπόλοιπες παραμένουν όπως έχουν. 
Πιο συγκεκριμένα, οι κανόνες έχουν ως εξής:

  • Μια μάρκα με 0 ή 1 γείτονα πεθαίνει
  • Μια μάρκα με περισσότερους από τρεις γείτονες πεθαίνει.
  • Μια μάρκα με 2 ή 3 γείτονες παραμένει ζωντανή.
  • Σε μια κενή θέση με 3 ακριβώς γειτονικές μάρκες γεννιέται μια νέα μάρκα. 
                                                                                         
Μπορείτε να βρείτε στο διαδίκτυο πολλές πληροφορίες για το παιχνίδι της ζωής, (π.χ. εδώ) καθώς και δωρεάν λογισμικό του παιχνιδιού. (π.χ. εδώ ) Το παιχνίδι βασίζεται σε αυστηρούς κανόνες, επομένως η πορεία οποιουδήποτε αρχικού σχηματισμού είναι πλήρως προσδιορισμένη: αν ξεκινάμε πάντα από τον ίδιο σχηματισμό, η εξέλιξη του παιχνιδιού θα είναι πάντα η ίδια. Παρ' όλα αυτά, το αποτέλεσμα είναι απρόβλεπτο υπό την έννοια ότι δεν μπορούμε να ακολουθήσουμε κάποια σύντομη οδό και να προβλέψουμε τι θα συμβεί - το μόνο που μπορούμε να κάνουμε είναι να παίζουμε το παιχνίδι και να παρακολουθούμε την εξέλιξή του. Αυτός είναι ένας από τους πολλούς τρόπους με τους οποίους  διακρίνονται στην πράξη οι έννοιες "ντετερμινιστικό" και "προβλέψιμο", παρότι, καταρχήν, είναι ουσιστικά ίδιες.
Παρά τους απλούς κανόνες του, το παιχνίδι της ζωής μπορεί να εκδηλώσει εκπληκτικά πλούσια συμπεριφορά. Τόσο πλούσια, μάλιστα, που μερικές φορές είναι απρόβλεπτη υπό μια πολύ ισχυρή έννοια, μολονότι η αρχική κατάσταση προσδιορίζει πλήρως την εξέλιξη.
******************************

Ένα απόσπασμα από το κεφάλαιο "Τι είναι ζωή;", σελ. 443-444, στο βιβλίο του Ian Stewart,  "Τα μαθηματικά της ζωής", που προσφάτως κυκλοφόρησε από τον εκδοτικό οίκο ΤΡΑΥΛΟΣ και το απέκτησα τρεις μέρες πριν. Μην έχοντας όμως βρει ακόμη τον χρόνο που απαιτείται για τη συστηματική μελέτη ενός τέτοιου βιβλίου, το ξεφυλλίζω λαίμαργα κάθε φορά που ξεκλέβω λίγη ώρα για μένα, και διαβάζω αποσπάσματά του, από δω κι από κει ...
Κάτω από αυτές τις ... καταπιεστικές και, ομολογουμένως, αγχώδεις συνθήκες ανάγνωσης του βιβλίου, ανακάλυψα τουλάχιστον δέκα αποσπάσματα που θα ήθελα να μοιραστώ άμεσα με ανθρώπους που αγαπώ και ξέρω ότι διαβάζοντάς τα θα εμπνευστούν, ο καθένας με το δικό του τρόπο και στο δικό του τομέα, αντλώντας ιδέες από τα γραφόμενα του Ian Stewart. "Τα μαθηματικά της ζωής. Ξεκλειδώνοντας τα μυστικά της ύπαρξης", πιθανότατα μπορούν να εμπνεύσουν κάποιον που γράφει βιβλίο, το οποίο ουδεμία σχέση έχει με μαθηματικά. Ομοίως μπορούν να εμπνεύσουν κάποιον που γράφει σενάριο ταινίας, καταγράφοντας είδη ανθρώπινων σχέσεων ή μυστικές ιστορίες ανθρώπων...
Κι αν η έμπνευση συγγραφέων και σεναριογράφων από την ανάγνωση του βιβλίου αποτελεί πιθανό ενδεχόμενο, το βέβαιο ενδεχόμενο είναι πως "Τα μαθηματικά της ζωής" θα εμπνεύσουν όποιον εκπαιδευτικό προσπαθεί να εμπλουτίσει τα σενάρια διδασκαλίας του με επιχειρήματα που θα πείθουν τους μαθητές ότι η αντιμετώπιση της γνώσης ως ένα ενιαίο σώμα -και όχι αποσπασματικά και κατακερματισμένα, όπως συμβαίνει στο σχολείο μας- είναι ο μόνος τρόπος με τον οποίον τελικά η Επιστήμη ολοκληρώνεται και προχωρά, επειδή ακριβώς η ολοκλήρωση ενός επιστημονικού κλάδου προϋποθέτει τη μαθηματικοποίησή του, κάτι που έχει συμβεί προ καιρού με τη Φυσική και τη Χημεία και πολύ πιο πρόσφατα με τη βιολογία. Η βιολογία, την οποία ο Ian Stewart εξετάζει σε συνάφεια με τα μαθηματικά, μελετά, όπως είναι γνωστό, την ίδια τη ζωή.
Λιγότερο γνωστό είναι το "τι είναι ζωή;", δηλαδή ο ορισμός της ζωής.Τι είναι ζωή και πώς ορίζεται;
*****************************************
"Οι βιολόγοι δεν έχουν καταλήξει σε έναν καθολικά αποδεκτό ορισμό της "ζωής". Αντιθέτως, διαθέτουν αρκετούς ανταγωνιστικούς ορισμούς, κανένας από τους οποίους δεν είναι απολύτως ικανοποιητικός",  γράφει ο Stewart στη σελίδα 431. Στη συνέχεια παραθέτει διάφορες σκέψεις και επιχειρήματα, για να καταλήξει στο ακόλουθο συμπερασμα, που, εν τέλει, δεν μας δίνει απάντηση στο "τι είναι ζωή", καθώς μας εξηγεί ότι:
"ο σύγχρονος λειτουργικός ορισμός εστιάζεται στο τι κάνει η ζωή, όχι τι είναι. Τα κύρια χαρακτηριστικά της είναι τα εξής:

  • διαθέτει οργανωμένη δομή
  • ρυθμίζει την εσωτερική συμπεριφορά αποκρινόμενη σε βραχύχρονες αλλαγές στο περιβάλλον.
  • επιτυγχάνει τα δύο παραπάνω αντλώντας ενέργεια από το περιβάλλον
  • αποκρίνεται σε εξωτερικά ερεθίσματα, μετακινούμενη, φερειπείν, προς μια πηγή τροφής
  • αναπτύσσεται-με τρόπο που δεν συσσωρεύεται απλώς- όλο και περισσότερο υλικό, χωρίς να κάνει τίποτε με αυτό
  • αναπαράγεται
  • προσαρμόζεται σε μακροχρόνιες αλλαγές στο περιβάλλον.
***************************************
Και έτσι μαθαίνουμε, όχι τι είναι η ζωή, αλλά τι κάνει!  Άρα μαθαίνουμε τι κάνουμε και πώς λειτουργούμε εμείς, που είμαστε έμβια - και επιπλέον έλλογα - όντα. Τι κάνουμε; Θα έλεγε  κανείς -επηρεασμένος άμεσα από τον λειτουργικό ορισμό που προαναφέρθηκε- πως αγωνιζόμαστε να αναπαραχθούμε και να οργανώσουμε τις δομές, (ή τους θεσμούς, αν έτσι το προτιμούν οι νομικοί...:) ), πως σκεφτόμαστε προκειμένου να βρούμε τρόπους οργάνωσης και άρα επιβίωσης, πως συχνά προβληματιζόμαστε και, εν δυνάμει, κάποιοι τουλάχιστον εξ ημών, ανανεωνόμαστε, προσαρμοζόμενοι στις περιβαλλοντικές και πλείστες άλλες αλλαγές, ανταποκρινόμενοι σε εξωτερικά ερεθίσματα, που μας ωθούν να μετακινηθούμε προς καινούριες πηγές "τροφής" κλπ.
Προσωπικά, εστιάζοντας στο κομμάτι της ανανέωσης και της προσαρμογής, θα έλεγα πως σε ένα ανανεωτικό πλαίσιο, και προς αναζήτηση "πνευματικής τροφής",  ο εκπαιδευτικός, πριν από όλους, οφείλει να μελετά βιβλία όπως "Τα Μαθητικά της ζωής", όπου εύλογα διασυνδέεται  σχεδόν κάθε πεδίο του επιστητού, χωρίς να γίνεται περιορισμός στις θετικές  επιστήμες, όπως προοικονομεί ο τίτλος. Αντιθέτως, στο βιβλίο γίνεται διασύνδεση θετικών και ανθρωπιστικών επιστημών, και μάλιστα γίνεται με μαεστρία και  τρόπο τέτοιον που αγγίζει τα ενδιαφέροντα, και τις εκπαιδευτικές ιδιαιτερότητες κι ανάγκες, του καθένα μας. Υπό το πρίσμα που ο Stewart εξετάζει τις διασυνδέσεις μαθηματικών, βιολογίας,  φυσικής,  χημείας,  αρχιτεκτονικής, αστρονομίας, ανθρωπολογίας, βιομηχανίας τροφίων, κ.α. η "κρυμένη συνδεσμολογία" (κεφάλαιο 11) αποκαλύπτει "ευκαιρίες δικτύωσης" (κεφάλαιο 15), με αποτέλεσμα "ο μακρύς κατάλογος της ζωής" (κεφάλαιο 3) να εμπλουτίζεται με νέα διαφωτιστικά στοιχεία, που οδηγούν τελεολογικά σε αυτό που ο Stewart αποκαλεί "η έκτη επανάσταση", στο τελευταίο κεφάλαιο (19) του βιβλίου του.
Η, κατά Stewart, έκτη επανάσταση που ήδη συντελείται,  μετατρέπει σταδιακά την επιστήμη από συλλογή χωριών σε παγκόσμια κοινότητα. "Και η ιστορία της μαθηματικής βιολογίας δείχνει πως οι συνεργαζόμενες κοινότητες μπορούν να επιτύχουν πράγματα που είναι αδύνατον να κατορθώσουν από μόνα τους τα μέλη της."
Διακατεχόμενη από την αισιοδοξία που αποπνέει η εμβριθής, πλην απευθυνόμενη στο ευρύ κοινό, επιστημονική μελέτη του Ian Stewart, με διευρημένη τη σημασία* των λέξεων που θα χρησιμοποιήσω στη συνέχεια, οδηγούμαι, μεταξύ άλλων, στα ακόλουθα συμπεράσματα:
1ο.  Μια αποτελεσματική συνεργασία φαίνεται να προϋποθέτει μιας τάξης επανάσταση.
2ο.  Η επανάσταση οδηγεί σε καινούριες κατακτήσεις.
3ο. "Το παιχνίδι της ζωής", με τους  απλούς και αυστηρούς κανόνες, αλλά την πλούσια κι απρόβλεπτη συμπεριφορά,  μας καθιστά ανίκανους να προβλέψουμε με βεβαιότητα τις εξελίξεις, μέσω μιας σύντομης οδού, επειδή πληρεί ταυτόχρονα όλες τις προϋποθέσεις της τάξης και του χάους, όπως ακριβώς κάνει και η ίδια μας η ζωή, άρα
4ο. Δεν μένει παρά να περιμένουμε, για να μάθουμε τις εξελίξεις...

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*Η γλωσσολογία, φυσικώ τω λόγω, δεν μένει έξω από τις διασυνδέσεις και τις πλείστες αναφορές, που κάνει ο I. Stewart. Το πώς οι μαθηματικοί επεκτείνουν τη σημασία των λέξεων αποτελεί ένα από τα αποσπάσματα που θέλω να μοιραστώ με τους ανθρώπους που αγαπώ, αλλά "Τα μαθηματικά της ζωής" είναι ανεξάντλητα, ενώ ο χρόνος μου, προς το παρόν,  εξαντλείται εδώ...


Τετάρτη, 16 Ιανουαρίου 2013

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΟΜΟΡΦΙΑ: μια αυθεντική σχέση.

    Όταν ήμουν παιδί, με είχε μαγέψει η ομορφιά της χιονονιφάδας. Τώρα αναζητώ την εξήγησή της στα μαθηματικά. Είναι σοφό αυτό που κάνω;
    Ίσως μας εκπλήσσει ο συνδυασμός των λέξεων "μαθηματικά" και "ομορφιά". Οι περισσότεροι φαντάζονται τα μαθηματικά ως ατέλειωτες σελίδες με πολύπλοκες "αθροίσεις"-καθόλου όμορφη εικόνα. Πιστέψτε με, το κατανοώ.
Όμως, αυτή είναι η αριθμητική, δεν είναι τα μαθηματικά-επιμένω πολύ σ' αυτό. Τα σύμβολα στο χαρτί έχουν τόση σχέση με την πραγματική ομορφιά του αντικειμένου όση έχουν τα σύμβολα του πεντάγραμμου με μια συμφωνία του Μπετόβεν. Η ομορφιά των μαθηματικών δεν βρίσκεται στον συμβολισμό, αλλά στις ιδέες τους, όχι στις ασκήσεις για τα δάχτυλα, αλλά στις συμφωνίες.
    Υπάρχουν δύο είδη μαθηματικής ομορφιάς: η λογική και η οπτική. Ο φιλόσοφος και μαθηματικός Μπέρτραντ Ράσελ περιέγραψε την ομορφιά των μαθηματικών ως "ψυχρή και απέριττη" αναφερόμενος στη λογική ομορφιά τους. Για όποιον καταλαβαίνει τις ιδέες, μια μαθηματική απόδειξη μπορεί στη λογική της να μοιάζει με μια συμφωνία. Αυτό το είδος ομορφιάς είναι διανοητικό και δυσπρόσιτο.
    Αντίθετα, η οπτική ομορφιά ασκεί άμεση έλξη. Η ομορφιά της χιονονιφάδας είναι μαθηματικού χαρακτήρα, απευθύνεται στην αίσθηση συμμετρίας και πολυπλοκότητας που διαθέτουμε. Η ίδια αίσθηση αποτελεί την ουσία των μαθηματικών.
 Η σχέση μεταξύ μαθηματικών και ομορφιάς είναι αυθεντική, αλλά αδιόρατη. Φαίνεται πως δεν υπάρχει προοπτική για την επινόηση ενός Λογισμού της ομορφιάς (όχι πως αυτό επέτρεψε κάποιους θαρραλέους από την προσπάθεια). Επιπλέον, τα εξιδανικευμένα μαθηματικά σχήματα είναι υπερβολικά κανονικά σε σύγκριση με το φυσικό κόσμο ή με την τέχνη ώστε να θεωρηθούν όμορφα. Άλλωστε, υπάρχουν παντού: στους τοίχους, στις κουρτίνες, στα χαλιά, στις ταπετσαρίες, στα κεραμικά, ακόμη και στην αρχιτεκτονική.
http://www.strathbogierangescmn.com/wp-content/uploads/2012/09/Blue-butterfly-Card.jpgΤι είναι όμως εκείνο που κάνει τη συμμετρία τόσο ελκυστική; Μας αρέσει η επανάληψη-μέχρις ενός βαθμού. Στα παιδιά αρέσει να τους διηγούνται ξανά και ξανά την ίδια ιστορία. Η μουσική, στο απλούστερο επίπεδο, είναι ένας ρυθμικά επαναλαμβανόμενος θόρυβος, στο αμέσως επόμενο διακρίνουμε μουσικά θέματα και παραλλαγές, διαπλεκόμενες δομές αποτελούμενες από επαναλήψεις. Ο εγκέφαλος εξελίχθηκε σε έναν κόσμο όπου η επιβίωση συνδέεται άμεσα με την ικανότητα αναγνώρισης σχημάτων. Η διάκριση των εποχών μας επιτρέπει να βρίσκουμε τροφή σε όλη τη διάρκεια του έτους. Η αναγνώριση σχημάτων μας επιτρέπει να διακρίνουμε το φίδι από το αμπέλι, τη σφίγγα από την πεταλούδα...
******************************************************************

Αντέγραψα ένα μικρό απόσπασμα από τη σελίδα 100 του βιβλίου "Ο1 μυ6τικοί Αρι8μοί, Από το σχήμα της χιονονιφάδας στο σχήμα του σύμπαντος", του Ίαν Στιούαρτ, που κυκλοφορεί εδώ και δέκα ήδη χρόνια από τις εκδόσεις Τραυλός. Επέλεξα να αντιγράψω το συγκεκριμένο απόσπασμα για τους εξής λόγους:

1ο. Αυτή είναι η πρώτη ανάρτηση που κάνω μες στην καινούρια χρονιά και θα ήθελα να έχει ένα όμορφο θέμα, άρα το "Μαθηματικά και Ομορφιά", που είναι η επικεφαλίδα του επιλόγου του 8 κεφαλαίου στο εν λόγω βιβλίου του Ίαν Στιούαρτ, πληρεί εκ προοιμίου το βασικό μου επίταγμα.
2ο. Η ανάγνωση του βιβλίου του Τεύκρου Μιχαηλίδη, "Ο μέτοικος και η συμμετρία", στη μαθητική λέσχη ανάγνωσης του 2ου Λυκείου Συκεών το απόγευμα της περασμένης Κυριακής, έγινε αφορμή να ανοίξει εκτενής συζήτηση γύρω από τη συμμετρία και,  ως η μόνη μαθηματικός της ομήγυρης, όφειλα να απαντώ στις ερωτήσεις των παιδιών. Η γοητεία της συμμετρίας όμως οδηγεί κατευθείαν στον Ίαν Στιούαρτ, τον κατ' εξοχήν υμνητή της, και στα πολλά σχετικά του συγγράμματα, ένα εκ των οποίων είναι και οι μυστικοί του αριθμοί. :)
3ο. Οι μυστικοί αριθμοί του Ίαν Στιούαρτ έχουν την ιδιότητα να ξεκλειδώνουν τα μυστικά της ίδιας της ύπαρξης! Μαγικά μαθηματικά! Όμορφα και απλά. Αρκεί βέβαια να είναι σε θέση κάποιος να μελετήσει ... τα Μαθηματικά της ζωής,  το τελευταίο βιβλίο του Ίαν Στιούαρτ που κυκλοφόρησε από τις εκδόσεις Τραυλός μόλις πριν από λίγο καιρό και περιμένω να το διαβάσω πως και πως... Μέχρι τότε, έστω και καθηστερημένα, να ευχηθώ:
Καλή Χρονιά, με πολλές αναγνώσεις, με όμορφα, μυστηριώδη και συνάμα αποκαλυπτικά, μαθηματικά για μεγάλους και παιδιά!
Κλείνοντας δε να πω τον 4ο - και σημαντικότερο - λόγο για τον οποίον αντέγραψα το παραπάνω απόσπασμα...
4ο. Το αντέγραψα επειδή, όπως γράφει και ο Ίαν Στιούαρτ, "Στα παιδιά αρέσει να τους διηγούνται ξανά και ξανά την ίδια ιστορία.", οπότε, σαν παιδί κι εγώ, χαίρομαι πολύ να διαβάζω ξανά και ξανά κείμενα γραμμένα με ομορφιά για την ομορφιά και τα μαθηματικά! ;)