Τρίτη, 30 Απριλίου 2013

Η ΑΦΟΣΙΩΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΠΤΟΥ Χ


Δεν έχει πάνω από μισή ώρα που διάβασα την τελευταία σελίδα του βιβλίου του Keigo Higashino, (东野圭吾), "Η αφοσίωση του ύποπτου Χ"! Από χθες που το έπιασα στα χέρια μου, όποια δουλειά με ανάγκασε να διακόψω το διάβασμα, μου φάνηκε ... αγγαρεία! Προφανώς επειδή είναι από εκείνα τα βιβλία που όταν αρχίζεις να τα διαβάζεις σε καθηλώνουν από την πρώτη κιόλας σελίδα και δεν μπορείς να το αφήσεις παρά μόνο όταν διαβάσεις και την τελευταία. Δεν έχω σκοπό όμως να γράψω  για την πλοκή και για το κλίμα του βιβλίου, ούτε για την ευρηματικότητα του Higashino και την πρωτοτυπία του να βάζει ένα μαθηματικό, ένα φυσικό κι έναν αστυνομικό να υφαίνουν το γαϊτανάκι της ιστορίας με ευφυείς μαθηματικο-λογικές επαγωγές, πολλές από τις οποίες διατυπώνονται, αντιπαρατίθενται και ελέγχονται δίπλα στο ποτάμι, καθώς οι ήρωες περπατούν περνώντας ξανά και ξανά από τα παραπήγματα των αστέγων. Οι άστεγοι, των οποίων η ρεαλιστική περιοδική περιγραφή  δημιουργεί την ασφυκτική αίσθηση της φτώχειας που κρέμεται σήμερα πάνω από το κεφάλι μας,  παίζουν το  ρόλο τους τόσο στη λήψη αποφάσεων των ηρώων, όσο και στην κατοπινή τους εκτέλεση. Δεν θα μπω όμως στις λεπτομέρειες του βιβλίου, έτσι κι αλλιώς έχουν ήδη  γραφτεί πολλά και διάφορα. Ενδεικτικά δείτε εδώ και εδώ ή όπου αλλού θέλετε, αλλά νομίζω πως όπου και να δείτε θα λείπει αυτό που εγώ πρόκειται να σχολιάσω παρακάτω και αφορά στις συνθήκες που επικρατούν στο μάθημα των μαθηματικών που διδάσκει ο ήρωας. Ο Ισιγκάμι, ο μαθηματικός της υπόθεσης, παρόλο που θα μπορούσε να είναι ακαδημαϊκός, για δικούς του λόγους, που περιγράφονται διεξοδικά στο βιβλίο, διδάσκει σε Δημόσιο Λύκειο, όπου εκτυλίσσονται αρκετές σκηνές της ιστορίας. Αλλά το σχολείο, δεν εμφανίζεται στο βιβλίο μόνο ως σκηνικό που παρέχει συγκεκριμένες δυνατότητες, αποτελεί το ίδιο μια δυνατότητα, αυτήν της κριτικής που ασκεί ο συγγραφέας στους μαθητές που παρακολουθούν, αναγκαστικά, τα μαθηματικά. Στη σελίδα 136, για παράδειγμα, o Higashino γράφει:

"Οι επιδόσεις του δεύτερου τμήματος της Β΄ Λυκείου στις εξετάσεις των μαθηματικών στο τέλος της χρονιάς ήταν οικτρές. Και το συγκεκριμένο τμήμα δεν αποτελούσε τη θλιβερή εξαίρεση, όλα τα τμήματα της τάξης τα είχαν πάει χάλια. Ο Ισιγκάμι πίστευε ότι κάθε χρόνο οι μαθητές γίνονταν όλο και πιο βλάκες."Συνεχίζοντας ο Higashino περιγράφει τις διαδικασίες των εξετάσεων στις οποίες υποβάλλονται οι μαθητές. Για την ακρίβεια περιγράφει τις δεύτερες και τρίτες επαναληπτικές εξετάσεις, για όσους έμειναν και ξαναέμειναν. Επίσης περιγράφει τη στάση και τη δυσφορία των μαθητών απέναντι στις διαδικασίες. Ιδιαίτερα την αγανάκτησή τους, όταν ο καθηγητής τους δίνει τη βαθμολογία που πέτυχαν. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η διαμαρτυρία ενός μαθητή με το όνομα Μαριόκα, που με αρκετή αυθάδεια, όπως προκύπτει από τα συμφραζόμενα, λέει στον καθηγητή: 

"Κύριε, δεν υπάρχουν τα πανεπιστήμια που δεν χρειάζεσαι τα μαθηματικά για να περάσεις; Γιατί όσοι θέλουμε να πάμε σ' αυτές τις σχολές πρέπει να περάσουμε τα μαθηματικά; [...] Να θέλω να πω...αν πάω πανεπιστήμιο, σίγουρα θα διαλέξω κάποιο χωρίς εξετάσεις στα μαθηματικά. Όχι ότι σκέφτομαι να πάω. Άλλωστε, του χρόνου δεν πρόκειται να επιλέξω τα μαθηματικά, άρα τι σημασία έχει ο φετινός μου βαθμός; Για να μην παρεξηγηθώ, σκέφτομαι κι εσάς, κύριε. Σίγουρα δεν έχει πλάκα να διδάσκετε βλάκες σαν κι εμάς. Γι' αυτό λοιπόν, σκεφτόμουν μήπως να δείχνατε κάποια κατανόηση. Να καταλήγαμε σε κάποια συμφωνία μεταξύ ενηλίκων, ας πούμε."

 Έχουν πολύ ενδιαφέρον όσα ο Higashino μεταφέρει από τις συνθήκες του σχολείου. Πέρα από τη δυσφορία των μαθητών στο μάθημα, περιγράφεται η πίεση που ασκεί ο διευθυντής του σχολείου στον καθηγητή των μαθηματικών, προκειμένου να βάλει εύκολα θέματα στις εξετάσεις για να περάσουν όλοι οι μαθητές την τάξη. Από την άλλη, περιγράφεται η αμηχανία του καθηγητή που βάζει "τετριμμένα" θέματα, επιλέγοντας ασκήσεις που έχει διδάξει, αλλά και πάλι οι μαθητές του δεν...ανταποκρίνονται, καθώς μένουν άπραγοι μπροστά σε μια αδιέξοδη κατάσταση, αυτήν της αναγκαστικής εκμάθησης του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.
Όσα περιγράφει ο Higashino έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, για κάποιον που διδάσκει μαθηματικά. Και σίγουρα θα μπορούσε να έχει γράψει λιγότερα, αν ήθελε απλά και μόνο να δημιουργήσει τις προϋποθέσεις εκείνες που απαιτούνταν στην πλοκή του μύθου του. Οι λεπτομέρειες όμως που δίνει μαρτυρούν πως αξιοποιεί την ευκαιρία να ασκήσει κριτική σε σχολικές καταστάσεις που  προβληματίζουν τον ήρωά του, τον Ισιγκάμι, όπως προβληματίζουν και τον καθένα που τυχαίνει να διδάσκει μαθηματικά σε  αδιάφορους και αδιάλλακτους μαθητές και σταδιακά νιώθει να χάνεται το νόημα, ακριβώς όπως ένιωσε και ο Ισιγκάμι όταν:

"Διόρθωνε τα γραπτά των επαναληπτικών εξετάσεων. Σκέτη φρίκη. Είχε φροντίσει να βάλει ασκήσεις αρκετά εύκολες για όλους - πολύ ευκολότερες συγκριτικά με τις κανονικές εξετάσεις, ώστε να περάσουν όσοι είχαν κοπεί. Παρ' όλ' αυτά δυσκολεύόταν να βρει έστω και ένα αξιοπρεπές γραπτό. Αποφάσισε ότι οι μαθητές δεν διάβαζαν. Γνώριζαν ότι άσχετα με το πόσο άσχημα έγραφαν, το σχολείο θα τους προβίβαζε έτσι κι αλλιώς. Στο κάτω-κάτω, το συμβούλιο σπάνια άφηνε κάποιον στην ίδια τάξη. Ακόμη κι αν ένας - δύο μαθητές δεν έπιαναν τη βαθμολογία, η διεύθυνση έβρισκε κάποια δικαιολογία προκειμένου να προβιβάσει ολόκληρη την τάξη. 
Γιατί λοιπόν δεν αφαιρούν τα μαθηματικά από τη λίστα των υποχρεωτικών μαθημάτων; αναρωτήθηκε ο Ισιγκάμι. Έτσι κι αλλιώς μόνο μια χούφτα μαθητές τα καταλαβαίνουν. Δεν υπάρχει καν νόημα να διδάσκονται τα μαθηματικά σε τόσο χαμηλό επίπεδο. Θα μπορούσαν απλώς να τους πληροφορούν ότι κάπου εκεί έξω υπάρχει ένα ακατονόητο πράγμα που ονομάζεται μαθηματικά και να αρκεστούν σ' αυτό." 

 Ο Keigo Higashino, όπως ήδη είπα, θα μπορούσε, πιστεύω, να ξετυλίξει το κουβάρι, χωρίς όλες αυτές τις λεπτομέρειες από τη σχολική τάξη των μαθηματικών. Ούτως ή άλλως ο καταθλιπτικός χαρακτήρας του ευφυούς Ισιγκάμι, είχε ήδη εξασφαλίσει την πειστικότητά του, λόγω της αποτυχίας του να σταδιοδρομήσει στο Πανεπιστήμιο, λόγω της υποχρέωσής του να φροντίσει τους ηλικιωμένους γονείς του, λόγω της κακόσχημης μορφής του, λόγω της απαράμιλλης λογικής του, λόγω της μοναχικής του ρουτίνας... Επομένως όλες αυτές οι λεπτομέρειες από τη σχολική τάξη δεν φαίνεται να εξυπηρετούν άμεσα τον  μύθο. Ή, εν πάση περιπτώσει ο μύθος θα μπορούσε να υπάρξει και χωρίς αυτές, εκτός από τον τρόπο που ο Ισιγκάμι επέλεγε τα θέματα των εξετάσεων! Ναι, αυτό για την ιστορία ήταν ιδιαίτερα σημαντικό.
Από την άλλη όμως, τώρα που το ξανασκέφτομαι, αν ο Ισιγκάμι είχε την τύχη να συναναστρέφεται με παιδιά που δείχνουν ενδιαφέρον για μάθηση και ζητούν από τον δάσκαλο περισσότερα, τότε σίγουρα θα αντλούσε δύναμη από τη δουλειά του, τότε θα έχαιρε αυτό το εσωτερικό φως που βιώνει ο δάσκαλος μετά από ένα πετυχημένο μάθημα, δηλαδή ένα μάθημα που τελειώνει με γελαστά πρόσωπα και λαμπερά μάτια και αφήνει την αίσθηση της απόλυτης κατάκτησης του νοήματος της ίδιας της ζωής... Σωστά! Αν ο Ισιγκάμι είχε τέτοια τύχη στις τάξεις του, θα ξεχείλιζαν οι ζωογόνες ορμές μέσα του και δεν θα αφοσιώνονταν στην όμορφη γειτόνισά του. Αλλά πού τέτοια τύχη; Ο καθηγητής βρισκόταν καθημερινά αντιμέτωπος με μαθητές που ο τυπικός τους εκπρόσωπος ήταν  ο Μαριόκα!
Η έλλειψη ενδιαφέροντος στην τάξη έκανε περισσότερο ευάλωτη την αλλοπαρμένη  ευφυΐα του καθηγητή, που πίσω από τη στωικότητα του Βούδα έκρυβε μια τραγική μορφή! Πράγματι ο Ισιγκάμι έκρυβε την τραγικότητά του επί 340 ολόκληρες σελίδες ή - αν το προτιμάτε - για 55 ολόκληρα χρόνια ζωής! Την έκρυβε καλά, μέσα στις λευκές σελίδες που γέμιζε προσπαθώντας να αποδείξει την υπόθεση Ρίμαν, και έτσι, ξαγρυπνώντας με τα θεωρήματα και τις αποδείξεις, έκρυβε τις δικές του προσωπικές υποθέσεις, καλυμένος  με ένα προσωπείο απαράμιλλης ψυχραιμίας και -φαινομενικά τουλάχιστον- ψυχρής μαθηματικής λογικής!
Είπα πως δεν θα γράψω για το βιβλίο, αλλά παρασύρθηκα..
Δεν πρέπει να γράψω για το βιβλίο.
Αξίζει να το διαβάσει κανείς, χωρίς να γνωρίζει την ιστορία από πριν.
Αυτό που ήθελα από την αρχή να γράψω ήταν η αίσθηση που αποκόμισα, διαβάζοντας τις σκέψεις που έκανε ο Ισιγκάμι για τη διδασκαλία των μαθηματικών στο Λύκειο. Μου ήταν οικείες οι σκέψεις του. Και οι εικόνες επίσης. Τα άθλια γραπτά, τα τετριμμένα θέματα, οι ερωτήσεις: γιατί να διαβάσω μαθηματικά, αφού είμαι θεωρητική... Όλα τα προβλήματα που αντιμετώπιζε στην τάξη του ο Ισιγκάμι, εκεί στη μακρινή Ιαπωνία, σε μια χώρα με τόσο διαφορετική κουλτούρα από τη δική μας, εμένα, όπως κι εσένα που διδάσκεις  στο Λύκειο μαθηματικά, αναμφιβόλως μας είναι γνωστά!
Είναι τόσο διαδεδομένα και τόσο γνωστά πλέον τα προβλήματα με τα μαθηματικά,  που σκύβουν οι συγγραφείς πάνω τους και τα κάνουν λογοτεχνικό καμβά!
Φοβάμαι πως πολύ σύντομα θα διαβάσουμε λογοτεχνία που θα έχει αποκλειστικό θέμα της τα προβλήματα αυτά...
   

Τετάρτη, 17 Απριλίου 2013

ΥΠΕΡΒΟΛΕΣ και ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ...

Μπορεί γύρω μας να καταρρέει ο κόσμος οικονομικά και ηθικά, αλλά εμείς σταθερά, για μια ακόμη φορά, μπήκαμε στην τελική τροχιά! Βρισκόμαστε μιαν ανάσα  πριν από τις ενδοσχολικές και τις πανελλαδικές εξετάσεις και ετοιμαζόμαστε πυρετωδώς. Τον πυρετό σαφώς τον ανεβάζουν οι  πανελλαδικές που, όπως κάθε χρόνο,  απασχολούν άμεσα και έμμεσα πολύ κόσμο, πέρα από τους μαθητές και τους γονείς τους, των οποίων η αγωνία, δικαίως, κορυφώνεται. Αλλά αγωνία έχει και η  διοίκηση που ξεκίνησε ήδη με συσκέψεις τον προγραμματισμό και την όλη προετοιμασία. 
Αγωνία επίσης διακατέχει και τους  διδάσκοντες στη Γ' Λυκείου, με αποτέλεσμα κάποιοι, ιδιαίτερα ικανοί, να προτείνουν ασκήσεις ως 3ο και ως 4ο θέμα πανελλαδικών, ανεβάζοντας ολοένα και περισσότερο  το βαθμό δυσκολίας... Ολοένα και περισσότερο!  Υπερβολικά! Μέχρι πού; Ποιος ξέρει; Όπως βλέπω  δεν φαίνεται να υπάρχει "άνω φράγμα" σ' αυτή τη διαδικασία. Πιθανόν να μην υπάρχει και νόημα, αφού το 4ο θέμα ξεφεύγει πλέον εντελώς και δεν αφορά παρά ελάχιστους, άρα δεν μπορεί να κυκλοφορεί ευρέως λίγο πριν τις εξετάσεις, να δημοσιεύεται και να αναδημοσιεύεται, σπέρνοντας τον πανικό και βγάζοντας εκτός μάχης πολλούς υποψηφίους και όχι μόνο... Είναι ένα θέμα για club ταλαντούχων και έμπειρων μαθηματικών και όχι για προτεινόμενο σε υποψήφιους που, συν τοις άλλοις, βρίσκονται αντιμέτωποι με την ανεργία των γονιών τους και την αγωνία του μέλλοντός τους. Ένας μπαμπούλας παραπάνω δεν πιστεύω πως τους βοηθάει...
Αλλά το θέμα το δικό μου δεν έχει να κάνει με τις υπερβολές ούτε και με την έλλειψη μέτρου των εξαίρετων συναδέλφων, (που στο κάτω κάτω κάνουν το κέφι τους και τη δουλειά τους...), αλλά με τις άλλες υπερβολές, τις κωνικές τομές, των οποίων τις εξισώσεις μελετήσαμε στην Κατεύθυνση της Β' Λυκείου. Συγκεκριμένα δε έχει να κάνει με το σημερινό  μάθημα, που το θεώρησα πολύ ενδιαφέρον και θέλω να το μοιραστώ, και ως διαδικασία και ως προβληματισμό.
Ως προβληματισμό επίσης θέλω να θέσω το εξής: Αγαπητοί συνάδελφοι, πώς αντιμετωπίζει ένας εκπαιδευτικός ένα τμήμα όπου οι μισοί -και παραπάνω ή επί το ορθότερον "σχεδόν όλοι"- έχουν τελειώσει προ πολλού την ύλη στο φροντιστήριο και βαριούνται αφόρητα να ακούν τα "απλά" και τετριμμένα, όπως είναι, ας πούμε, οι ορισμοί, η θεωρία, οι βασικές έννοιες, και τέτοια διάφορα απλοϊκά, αφού τα παιδιά έχουν κάνει ήδη ένα σκασμό δύσκολες και απαιτητικές ασκήσεις στο φροντιστήριο; Τι κάνει ο (σχολικός) εκπαιδευτικός, όταν -κάνοντας πολύ σωστά τη δουλειά του- εξηγεί τα πάντα όλα και για το λόγο αυτό  συμβαίνει να εισπράττει μιαν υπολανθάνουσα απαρέσκεια και μια υπομειδιούσα ειρωνία, από μαθητές που βαριούνται να ξανακούν τα ίδια; Εσείς συνάδελφοι τι κάνετε; Στη Γ' Λυκείου, ίσως κάποιος να έλεγε "επιλέγω μια από τα προτεινόμενα ως 4ο θέμα, την πιο πιο τρομακτική, τη δίνω στην τάξη να τη λύσουν και τους αναγκάζω, εκφοβίζοντάς τους να παρακολουθήσουν...". Εντάξει, ίσως και να μη το έλεγε :)
Αλλά στη Γ' Λυκείου, έτσι κι αλλιώς, το πρόβλημα αυτόν τον καιρό δεν είναι ότι έχει τελειώσει η ύλη και βαριούνται, το πρόβλημα είναι άλλο και αναρωτιέμαι αν ποτέ βρεθεί λύση...
Στη Β΄ Λυκείου όμως που είναι όλοι εκεί παρόντες και οι μισοί ή "σχεδόν όλοι" τα έχουν μάθει ήδη όλα, απ' έξω και ανακατωτά, στο φροντιστήριο, εσύ τι κάνεις;
Εγώ κάνω διάφορα. (Συχνά οι μαθητές μου λένε πως κάθε μάθημα είναι διαφορετικό και δεν έχουν άδικο, αφού προσπαθώ με διάφορες εκπλήξεις να πατάξω την πλήξη τους...).
Άλλα από αυτά που προγραμματίζω είναι πολύ αποτελεσματικά, άλλα λιγότερο.
Σήμερα για παράδειγμα, μπαίνοντας στην τάξη, ανακοίνωσα τo "menu" του προγραμματισμένου μαθήματος, λίγο γενικά και αόριστα.
"Θα κάνουμε τρεις ασκησούλες και θα τις συζητήσουμε, γράφτε την πρώτη...".
Εννοείται πως ελάχιστες φωτοτυπίες έχω δώσει όλη τη χρονιά και γράφω πάντα τις ασκήσεις στον πίνακα, αφού πρέπει να κάνουμε οικονομία..
(Κατά τα άλλα οφείλουμε να χρησιμοποιούμε και "φύλλα εργασίας"...).
Έγραψα την 1η άσκηση στον πίνακα.
 
Σιγά τα αυγά! Το 95% του τμήματος την έλυσε αστραπιαία, κάνοντας τις αλγεβρικές ταχυδακτυλουργίες! Ήδη κάποιοι άρχισαν να παίρνουν έκφραση βαρεμάρας...
"Μπράβο, παιδιά! Έχετε κατανοήσει πλήρως τις "αλγεβρικές" ασκήσεις και όλα τα διαδικαστικά.". Αφού την έλυσε κάποιος και στον πίνακα, προχωρήσαμε στη δεύτερη άσκηση.


Εδώ ο χρόνος επίλυσης της άσκησης αυξήθηκε απότομα. Μόνο μια μαθήτρια την έλυσε με την ίδια αστραπιαία ταχύτητα που έλυσε και την προηγούμενη. Σχηματάκι, σημεία Μ(κ, λ) και Ν(-κ, λ), εσωτερικό γινόμενο...Τέλος. Οι περισσότεροι δεν κατάφεραν να αξιοποιήσουν αμέσως τη συμμετρία της υπερβολής και χρειάστηκε να παρέμβω με υποδείξεις. Μας πήρε λίγη ώρα, αλλά εντάξει, αν και "γεωμετρική" βγήκε κι αυτή. Επί πλέον ζήτησα να "αναδιατυπώσουν το ζητούμενο". Είχε ενδιαφέρον, γιατί οι προτάσεις που ακούστηκαν σχετίζονταν με Πυθαγόρειο Θεώρημα και μόνο μια μαθήτρια στο τέλος πρότεινε αυτό που είχα κι εγώ στο μυαλό μου, δηλαδή: "Να δειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ΜΝ, διέρχεται από το σημείο Α". :)
Μέχρι εδώ, πάει καλά. Και η βαρεμάρα είχε παταχτεί...
Περάσαμε στην τρίτη και τελευταία άσκηση, του... πειράματος.

"Στην Ευκλείδεια υπάρχει ένας τύπος που δίνει το εμβαδόν τριγώνου συναρτήσει της περιμέτρου;", με ρώτησε μια μαθήτρια. "Ναι, ο τύπος του Ήρωνα!", είπα. "Και πώς είναι;", ρώτησε. "Έτσι...." της είπα, "Αλλά τι θα τον κάνεις; Φοβάμαι πως θα μπλέξεις άσχημα...". Δυστυχώς δεν κρατήθηκα να μην την αποτρέψω.  Θα έπρεπε να την αφήσω να το δοκιμάσει.
Έκανα ένα γύρω στα τετράδια. Χαμός! Πράξεις, πράξεις, πράξεις! Και πάσης φύσεως..."αλγεβριές"! Αντικατάσταση στη σχέση: (ΑΒ) + (ΑΓ) = 20, (1) με τους τύπους της απόστασης σημείων, με ρίζες, με τετράγωνα, με πολλές μουντζούρες και με άλλα σημάδια διάφορα. 
"Διαβάστε προσεκτικά την εκφώνηση, καθώς και τη σχέση για τις ΑΒ και ΑΓ  που, πολύ σωστά, έχετε γράψει", είπα σε μια τελευταία προσπάθεια να τους βοηθήσω να δουν το ... προφανές, που για τα παιδιά δεν ήταν καθόλου προφανές! Αναγκάστηκα να γράψω ακριβώς κάτω από τη σχέση (1) 
(ΜΕ') + (ΜΕ) = 2α και μόνο τότε μερικοί αναφώνησαν "Ααα, είναι έλλειψη". Βέβαια, υπήρξαν και οι αμφισβητήσεις, τύπου: "ναι, αλλά μπορούμε να το πάρουμε έτσι... 'έτοιμο' και να πούμε ότι είναι έλλειψη;". Λέγοντας  ο μαθητής "έτσι έτοιμο" φαντάζομαι πως εννοούσε "να μην το υπολογίσω κάνοντας μερικές...σελίδες αλγεβρικές πράξεις, όπως έχω πολύ καλά μάθει να κάνω;".
Αλλά και οι υπόλοιποι, αυτοί που...αποδέχτηκαν τη λύση, φάνηκαν να ξαφνιάζονται ευχάριστα και μάλιστα κάποιος φώναξε ενθουσιασμένος "πολύ έξυπνο"! 
Αν δεν ήμουν εγώ που τους κάνω το μάθημα και δεν ήξερα ότι εγώ η ίδια τους  είχα τονίσει, μάλλον υπερτονίσει, την αξία των ορισμών των κωνικών για ασκήσεις με Γ.Τ., που ανάλογη μάλιστα είχαμε κάνει στο προηγούμενο μάθημα, θα  έλεγα πως αυτά τα παιδιά δεν έχουν ξαναδεί "εννοιολογική" άσκηση, δηλαδή δεν έχουν ξαναδεί άσκηση που η λύση της  προκύπτει άμεσα από την κατανόηση μιας έννοιας και του αντίστοιχου ορισμού! 
Η αρχική μου υπόθεση, δηλαδή πως οι μαθητές μου, ειδικά αυτοί που βαριούνται ασύστολα κατά την ώρα του μαθήματος, επειδή προ πολλού έχουν τελειώσει την ύλη στο φροντιστήριο, δεν θα καταφέρουν να λύσουν μια "εννοιολογική" άσκηση, γιατί δεν έχουν αφομοιώσει επαρκώς τις έννοιες, επαληθεύτηκε.
 Βέβαια, όταν ο δάσκαλος κάνει ένα πείραμα δεν το κάνει απλά για να επιβεβαιώσει την υπόθεσή του. Το κάνει κυρίως για να αξιολογήσει την πορεία της μάθησης των μαθητών του και να  επανασχεδιάσει τη διδασκαλία σε μια πιο αποτελεσματική τροχιά.. Χωρίς υπερβολές. 
Και, δυστυχώς,  με πολλές ελλείψεις! 
Έτσι τελειώνει και φέτος η χρονιά!