Τρίτη, 30 Απριλίου 2013

Η ΑΦΟΣΙΩΣΗ ΤΟΥ ΥΠΟΠΤΟΥ Χ


Δεν έχει πάνω από μισή ώρα που διάβασα την τελευταία σελίδα του βιβλίου του Keigo Higashino, (东野圭吾), "Η αφοσίωση του ύποπτου Χ"! Από χθες που το έπιασα στα χέρια μου, όποια δουλειά με ανάγκασε να διακόψω το διάβασμα, μου φάνηκε ... αγγαρεία! Προφανώς επειδή είναι από εκείνα τα βιβλία που όταν αρχίζεις να τα διαβάζεις σε καθηλώνουν από την πρώτη κιόλας σελίδα και δεν μπορείς να το αφήσεις παρά μόνο όταν διαβάσεις και την τελευταία. Δεν έχω σκοπό όμως να γράψω  για την πλοκή και για το κλίμα του βιβλίου, ούτε για την ευρηματικότητα του Higashino και την πρωτοτυπία του να βάζει ένα μαθηματικό, ένα φυσικό κι έναν αστυνομικό να υφαίνουν το γαϊτανάκι της ιστορίας με ευφυείς μαθηματικο-λογικές επαγωγές, πολλές από τις οποίες διατυπώνονται, αντιπαρατίθενται και ελέγχονται δίπλα στο ποτάμι, καθώς οι ήρωες περπατούν περνώντας ξανά και ξανά από τα παραπήγματα των αστέγων. Οι άστεγοι, των οποίων η ρεαλιστική περιοδική περιγραφή  δημιουργεί την ασφυκτική αίσθηση της φτώχειας που κρέμεται σήμερα πάνω από το κεφάλι μας,  παίζουν το  ρόλο τους τόσο στη λήψη αποφάσεων των ηρώων, όσο και στην κατοπινή τους εκτέλεση. Δεν θα μπω όμως στις λεπτομέρειες του βιβλίου, έτσι κι αλλιώς έχουν ήδη  γραφτεί πολλά και διάφορα. Ενδεικτικά δείτε εδώ και εδώ ή όπου αλλού θέλετε, αλλά νομίζω πως όπου και να δείτε θα λείπει αυτό που εγώ πρόκειται να σχολιάσω παρακάτω και αφορά στις συνθήκες που επικρατούν στο μάθημα των μαθηματικών που διδάσκει ο ήρωας. Ο Ισιγκάμι, ο μαθηματικός της υπόθεσης, παρόλο που θα μπορούσε να είναι ακαδημαϊκός, για δικούς του λόγους, που περιγράφονται διεξοδικά στο βιβλίο, διδάσκει σε Δημόσιο Λύκειο, όπου εκτυλίσσονται αρκετές σκηνές της ιστορίας. Αλλά το σχολείο, δεν εμφανίζεται στο βιβλίο μόνο ως σκηνικό που παρέχει συγκεκριμένες δυνατότητες, αποτελεί το ίδιο μια δυνατότητα, αυτήν της κριτικής που ασκεί ο συγγραφέας στους μαθητές που παρακολουθούν, αναγκαστικά, τα μαθηματικά. Στη σελίδα 136, για παράδειγμα, o Higashino γράφει:

"Οι επιδόσεις του δεύτερου τμήματος της Β΄ Λυκείου στις εξετάσεις των μαθηματικών στο τέλος της χρονιάς ήταν οικτρές. Και το συγκεκριμένο τμήμα δεν αποτελούσε τη θλιβερή εξαίρεση, όλα τα τμήματα της τάξης τα είχαν πάει χάλια. Ο Ισιγκάμι πίστευε ότι κάθε χρόνο οι μαθητές γίνονταν όλο και πιο βλάκες."Συνεχίζοντας ο Higashino περιγράφει τις διαδικασίες των εξετάσεων στις οποίες υποβάλλονται οι μαθητές. Για την ακρίβεια περιγράφει τις δεύτερες και τρίτες επαναληπτικές εξετάσεις, για όσους έμειναν και ξαναέμειναν. Επίσης περιγράφει τη στάση και τη δυσφορία των μαθητών απέναντι στις διαδικασίες. Ιδιαίτερα την αγανάκτησή τους, όταν ο καθηγητής τους δίνει τη βαθμολογία που πέτυχαν. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η διαμαρτυρία ενός μαθητή με το όνομα Μαριόκα, που με αρκετή αυθάδεια, όπως προκύπτει από τα συμφραζόμενα, λέει στον καθηγητή: 

"Κύριε, δεν υπάρχουν τα πανεπιστήμια που δεν χρειάζεσαι τα μαθηματικά για να περάσεις; Γιατί όσοι θέλουμε να πάμε σ' αυτές τις σχολές πρέπει να περάσουμε τα μαθηματικά; [...] Να θέλω να πω...αν πάω πανεπιστήμιο, σίγουρα θα διαλέξω κάποιο χωρίς εξετάσεις στα μαθηματικά. Όχι ότι σκέφτομαι να πάω. Άλλωστε, του χρόνου δεν πρόκειται να επιλέξω τα μαθηματικά, άρα τι σημασία έχει ο φετινός μου βαθμός; Για να μην παρεξηγηθώ, σκέφτομαι κι εσάς, κύριε. Σίγουρα δεν έχει πλάκα να διδάσκετε βλάκες σαν κι εμάς. Γι' αυτό λοιπόν, σκεφτόμουν μήπως να δείχνατε κάποια κατανόηση. Να καταλήγαμε σε κάποια συμφωνία μεταξύ ενηλίκων, ας πούμε."

 Έχουν πολύ ενδιαφέρον όσα ο Higashino μεταφέρει από τις συνθήκες του σχολείου. Πέρα από τη δυσφορία των μαθητών στο μάθημα, περιγράφεται η πίεση που ασκεί ο διευθυντής του σχολείου στον καθηγητή των μαθηματικών, προκειμένου να βάλει εύκολα θέματα στις εξετάσεις για να περάσουν όλοι οι μαθητές την τάξη. Από την άλλη, περιγράφεται η αμηχανία του καθηγητή που βάζει "τετριμμένα" θέματα, επιλέγοντας ασκήσεις που έχει διδάξει, αλλά και πάλι οι μαθητές του δεν...ανταποκρίνονται, καθώς μένουν άπραγοι μπροστά σε μια αδιέξοδη κατάσταση, αυτήν της αναγκαστικής εκμάθησης του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού.
Όσα περιγράφει ο Higashino έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον, για κάποιον που διδάσκει μαθηματικά. Και σίγουρα θα μπορούσε να έχει γράψει λιγότερα, αν ήθελε απλά και μόνο να δημιουργήσει τις προϋποθέσεις εκείνες που απαιτούνταν στην πλοκή του μύθου του. Οι λεπτομέρειες όμως που δίνει μαρτυρούν πως αξιοποιεί την ευκαιρία να ασκήσει κριτική σε σχολικές καταστάσεις που  προβληματίζουν τον ήρωά του, τον Ισιγκάμι, όπως προβληματίζουν και τον καθένα που τυχαίνει να διδάσκει μαθηματικά σε  αδιάφορους και αδιάλλακτους μαθητές και σταδιακά νιώθει να χάνεται το νόημα, ακριβώς όπως ένιωσε και ο Ισιγκάμι όταν:

"Διόρθωνε τα γραπτά των επαναληπτικών εξετάσεων. Σκέτη φρίκη. Είχε φροντίσει να βάλει ασκήσεις αρκετά εύκολες για όλους - πολύ ευκολότερες συγκριτικά με τις κανονικές εξετάσεις, ώστε να περάσουν όσοι είχαν κοπεί. Παρ' όλ' αυτά δυσκολεύόταν να βρει έστω και ένα αξιοπρεπές γραπτό. Αποφάσισε ότι οι μαθητές δεν διάβαζαν. Γνώριζαν ότι άσχετα με το πόσο άσχημα έγραφαν, το σχολείο θα τους προβίβαζε έτσι κι αλλιώς. Στο κάτω-κάτω, το συμβούλιο σπάνια άφηνε κάποιον στην ίδια τάξη. Ακόμη κι αν ένας - δύο μαθητές δεν έπιαναν τη βαθμολογία, η διεύθυνση έβρισκε κάποια δικαιολογία προκειμένου να προβιβάσει ολόκληρη την τάξη. 
Γιατί λοιπόν δεν αφαιρούν τα μαθηματικά από τη λίστα των υποχρεωτικών μαθημάτων; αναρωτήθηκε ο Ισιγκάμι. Έτσι κι αλλιώς μόνο μια χούφτα μαθητές τα καταλαβαίνουν. Δεν υπάρχει καν νόημα να διδάσκονται τα μαθηματικά σε τόσο χαμηλό επίπεδο. Θα μπορούσαν απλώς να τους πληροφορούν ότι κάπου εκεί έξω υπάρχει ένα ακατονόητο πράγμα που ονομάζεται μαθηματικά και να αρκεστούν σ' αυτό." 

 Ο Keigo Higashino, όπως ήδη είπα, θα μπορούσε, πιστεύω, να ξετυλίξει το κουβάρι, χωρίς όλες αυτές τις λεπτομέρειες από τη σχολική τάξη των μαθηματικών. Ούτως ή άλλως ο καταθλιπτικός χαρακτήρας του ευφυούς Ισιγκάμι, είχε ήδη εξασφαλίσει την πειστικότητά του, λόγω της αποτυχίας του να σταδιοδρομήσει στο Πανεπιστήμιο, λόγω της υποχρέωσής του να φροντίσει τους ηλικιωμένους γονείς του, λόγω της κακόσχημης μορφής του, λόγω της απαράμιλλης λογικής του, λόγω της μοναχικής του ρουτίνας... Επομένως όλες αυτές οι λεπτομέρειες από τη σχολική τάξη δεν φαίνεται να εξυπηρετούν άμεσα τον  μύθο. Ή, εν πάση περιπτώσει ο μύθος θα μπορούσε να υπάρξει και χωρίς αυτές, εκτός από τον τρόπο που ο Ισιγκάμι επέλεγε τα θέματα των εξετάσεων! Ναι, αυτό για την ιστορία ήταν ιδιαίτερα σημαντικό.
Από την άλλη όμως, τώρα που το ξανασκέφτομαι, αν ο Ισιγκάμι είχε την τύχη να συναναστρέφεται με παιδιά που δείχνουν ενδιαφέρον για μάθηση και ζητούν από τον δάσκαλο περισσότερα, τότε σίγουρα θα αντλούσε δύναμη από τη δουλειά του, τότε θα έχαιρε αυτό το εσωτερικό φως που βιώνει ο δάσκαλος μετά από ένα πετυχημένο μάθημα, δηλαδή ένα μάθημα που τελειώνει με γελαστά πρόσωπα και λαμπερά μάτια και αφήνει την αίσθηση της απόλυτης κατάκτησης του νοήματος της ίδιας της ζωής... Σωστά! Αν ο Ισιγκάμι είχε τέτοια τύχη στις τάξεις του, θα ξεχείλιζαν οι ζωογόνες ορμές μέσα του και δεν θα αφοσιώνονταν στην όμορφη γειτόνισά του. Αλλά πού τέτοια τύχη; Ο καθηγητής βρισκόταν καθημερινά αντιμέτωπος με μαθητές που ο τυπικός τους εκπρόσωπος ήταν  ο Μαριόκα!
Η έλλειψη ενδιαφέροντος στην τάξη έκανε περισσότερο ευάλωτη την αλλοπαρμένη  ευφυΐα του καθηγητή, που πίσω από τη στωικότητα του Βούδα έκρυβε μια τραγική μορφή! Πράγματι ο Ισιγκάμι έκρυβε την τραγικότητά του επί 340 ολόκληρες σελίδες ή - αν το προτιμάτε - για 55 ολόκληρα χρόνια ζωής! Την έκρυβε καλά, μέσα στις λευκές σελίδες που γέμιζε προσπαθώντας να αποδείξει την υπόθεση Ρίμαν, και έτσι, ξαγρυπνώντας με τα θεωρήματα και τις αποδείξεις, έκρυβε τις δικές του προσωπικές υποθέσεις, καλυμένος  με ένα προσωπείο απαράμιλλης ψυχραιμίας και -φαινομενικά τουλάχιστον- ψυχρής μαθηματικής λογικής!
Είπα πως δεν θα γράψω για το βιβλίο, αλλά παρασύρθηκα..
Δεν πρέπει να γράψω για το βιβλίο.
Αξίζει να το διαβάσει κανείς, χωρίς να γνωρίζει την ιστορία από πριν.
Αυτό που ήθελα από την αρχή να γράψω ήταν η αίσθηση που αποκόμισα, διαβάζοντας τις σκέψεις που έκανε ο Ισιγκάμι για τη διδασκαλία των μαθηματικών στο Λύκειο. Μου ήταν οικείες οι σκέψεις του. Και οι εικόνες επίσης. Τα άθλια γραπτά, τα τετριμμένα θέματα, οι ερωτήσεις: γιατί να διαβάσω μαθηματικά, αφού είμαι θεωρητική... Όλα τα προβλήματα που αντιμετώπιζε στην τάξη του ο Ισιγκάμι, εκεί στη μακρινή Ιαπωνία, σε μια χώρα με τόσο διαφορετική κουλτούρα από τη δική μας, εμένα, όπως κι εσένα που διδάσκεις  στο Λύκειο μαθηματικά, αναμφιβόλως μας είναι γνωστά!
Είναι τόσο διαδεδομένα και τόσο γνωστά πλέον τα προβλήματα με τα μαθηματικά,  που σκύβουν οι συγγραφείς πάνω τους και τα κάνουν λογοτεχνικό καμβά!
Φοβάμαι πως πολύ σύντομα θα διαβάσουμε λογοτεχνία που θα έχει αποκλειστικό θέμα της τα προβλήματα αυτά...
   

Δευτέρα, 15 Απριλίου 2013

Με αφορμή τα γενέθλια του LEONHARD EULER

Στις 15 Απριλίου του 1707, γεννήθηκε στη Βασιλεία, την πατρίδα των Μπερνούλι, ο Λέοναρντ Όιλερ, γιος της Μαργκαρέτα Μπρούκερ Όιλερ και του Πάουλ Όιλερ. Την εποχή εκείνη, ο πατέρας του Λέοναρντ υπηρετούσε ως εφημέριος στην ενορία του Αγίου Ιακώβου, [...]. Αν και η οικογένεια του Πάουλ Όιλερ είχε ελάχιστη μόρφωση, και ακόμη λιγότερα χρήματα, ο Πάουλ Όιλερ είχε σπουδάσει με πάθος μαθηματικά κοντά στον Γιάκομπ Μπερνούλι, και σύντομα έγινε φίλος με τον αδερφό του καθηγητή του, τον Γιόχαν, με τον οποίο ίσως μοιράστηκε ένα δωμάτιο στο σπίτι του Γιάκομπ για κάποιο διάστημα. Όταν ο Πάουλ ολοκλήρωσε τις σπουδές του στο πανεπιστήμιο, χειροτονήθηκε ιερέας της προτεσταντικής εκκλησίας. [...]
Οι Όιλερ απέκτησαν συνολικά τέσσερα παιδιά, από τα οποία το μεγαλύτερο ήταν ο Λέοναρντ, ακολουθούσαν δύο κόρες και στο τέλος ένας ακόμα γιος.
Ο Λέοναρντ Όιλερ ήταν ένα χαρωπό παιδάκι, με μεγάλη περιέργεια για τα πάντα. Οι γονείς του δεν άργησαν να προσέξουν την εντυπωσιακή ευστροφία και το δημιουργικό μυαλό του. Οι παροιμιώδεις μνημονικές του ικανότητες ήταν ένα γνώρισμα το οποίο τον βοήθησε να αντιμετωπίσει επιτυχώς στη ζωή του καταστάσεις που θα είχαν καταβάλει οποιονδήποτε άλλον λιγότερο ικανό στη θέση του. Ακόμα και στις τελευταίες στιγμές της ζωής του, μπορούσε να απαγγέλλει απέξω ολόκληρη την Αινειάδα του Βιργίλιου στα λατινικά. [...]
Μια μέρα, όταν ο Λέοναρντ ήταν περίπου τεσσάρων ετών, η μητέρα του κόντεψε να τρελαθεί διαπιστώνοντας ότι το μικρό αγοράκι της δεν βρισκόταν πουθενά.
..............................................................................................................
Παρόλη την όμορφη αφήγηση της M.B.W. Tent, από το βιβλίο της οποίας αντέγραψα το παραπάνω απόσπασμα, όσοι έστω και λίγο γνωρίζουμε το σημαντικό ρόλο που έπαιξε ο Όιλερ στην εξέλιξη της μαθηματικής σκέψης, καταλαβαίνουμε πως εκείνη τη μέρα η μητέρα του, αν και  κόντεψε να τρελαθεί, κατάφερε  τελικά να τον βρει... Σχεδόν τρακόσια χρόνια πριν.
Πού τον βρήκε όμως, μπορείτε να μαντέψετε; 
Πού είχε κρυφτεί το  έξυπνο, περίεργο και παρατηρητικό τετράχρονο αγόρι, που έμελλε να γίνει ο ένας εκ των τεσσάρων σημαντικότερων μαθηματικών στην ιστορία της ανθρωπότητας; Από πού τον ξετρύπωσε εκείνο το βράδυ η, μισοτρελαμένη από αγωνία,  Μαργκαρέτα Μπρούκερ Όιλερ;
.............................................................................................................
Τελικά, τον ξετρύπωσε στο κοτέτσι τους, καθισμένο χάμω και περιστοιχισμένο από τις κότες. "Λέοναρντ!" ψέλλισε βαριανασαίνοντας, "τι κάνεις εκεί;".
"Προσπαθώ να κάνω ένα κοτόπουλο", εξήγησε ατάραχα ο Λέοναρντ. 
"Τι έκανε, λέει;" απόρησε η μητέρα του.
"Όταν οι κότες κάνουν κοτόπουλα", είπε ο Λέοναρντ, "κάθονται πάνω σε ένα αυγό μέχρι να σπάσει, και τότε βγαίνει το κοτοπουλάκι. Τις είδα πολλές φορές, και αποφάσισα να το κάνω κι εγώ. Να και το αυγό μου. Δεν έσπασε ακόμα, οπότε θα κάτσω κι άλλο πάνω του". 
"Θεέ και Κύριε!" αναφώνησε η μητέρα του. "Λέοναρντ, δεν είσαι κότα!"
"Δεν νομίζω πως χρειάζεται να είσαι κότα", είπε γεμάτος αυτοπεποίθηση ο Λέοναρντ, "φτάνει που κάθομαι πάνω στο αυγό όπως ακριβώς κι εκείνες".
..........................................................................................................
Ο μικρός είχε απόλυτο δίκαιο! Δεν χρειάζεται να είσαι κότα, για να κλωσήσεις το αυγό και να βγάλεις κοτοπουλάκι. Του διέφευγαν ενδεχομένως οι σχετικές προϋποθέσεις περί προηγηθείσας γονιμοποίησης, αλλά ήταν μόλις τεσσάρων ετών. Το θέμα όμως δεν είναι αυτό. Επίσης το θέμα δεν είναι αν συνέβησαν τα πράγματα ακριβώς όπως τα περιγράφει η M.B.W. Tent ή αν αυτά που διαβάσαμε παραπάνω αποτελούν δικές της συμπληρωματικές παραμυθίες, στη μυθιστορηματική βιογραφία της, όπου διαβάζουμε την αλληλεπίδραση των μαθηματικών οικογενειών Όιλερ και Μπερνούλι, τα προβλήματα που επέλυσαν, το ρόλο τους στην Ακαδημία του Βερολίνου και στην Αυλή της Αγίας Πετρούπολης κι άλλα πολλά ενδιαφέροντα και γοητευτικά.
Το θέμα, δηλαδή ο λόγος, που με αφορμή τα 306 γενέθλια του Λέοναρντ Όιλερ (και όχι τα 360 όπως γράφει στο google), επέλεξα το συγκεκριμένο απόσπασμα από ολόκληρο το πολύ όμορφο  ιστορικό μυθιστόρημα της Tent, είναι γιατί μου άρεσε ο τρόπος που η  Μαργκαρέτα Μπρούκερ Όιλερ χειρίστηκε το θέμα. 
Τι λέτε να έκανε  εκείνο το βράδυ η μητέρα του μελλοντικού μέγα μαθηματικού;
Προσπαθείστε να μαντέψετε.
1. Έκατσε στο κοτέτσι μαζί του, για να κλωσήσουν το αυγό
2. Πήρε το αυγό στο σπίτι, για να συνεχίσει ο Λέοναρντ να το κλωσάει
3. Τον πήρε στο σπίτι και, για να μην κλαίει, του υποσχέθηκε να του δωρίσει ένα κοτοπουλάκι, από αυτά που βάφουν  το Πάσχα κόκκινα.
4. Του είπε πως αυτό που επιχειρεί είναι μια βλακεία και μισή
5. Τον άρπαξε από το αυτί και τον έσειρε με κλωτσιές και μπουνιές στο σπίτι
6. Άλλο

Αν είσαστε μητέρα, σκεφτείτε τι θα κάνατε εσείς σε μια τέτοια περίσταση!
Πώς θα αντιμετωπίζατε το βλαστάρι σας αν το είχατε χαμένο όλη μέρα και το βρίσκατε αργά το βράδυ σε ένα κοτέτσι να κλωσάει ένα αυγό, για να κάνει κοτόπουλο ή κάτι τέτοιο τέλος πάντων..
Τι θα κάνατε; Ίσως ακούγεται χαζό, αλλά διαπιστωμένα η εξέλιξη που θα έχει ένα τετράχρονο παιδί (στα τέσσερα είναι παιδί, αλλά, προσοχή, στα εικοσιτέσσερα, παρόλο που παραμένει το δικό μας παιδί,  δεν είναι πλέον παιδί, πολύ δε περισσότερο στα τριαντατέσσερα και βάλε...) εξαρτάται σε πολύ μεγάλο βαθμό από την ίδια του τη μητέρα και όχι κατ' ανάγκην από τους καθηγητές του στο Λύκειο κι άλλους τινές που θα συναντήσει πολύ αργότερα στη ζωή του...

Εν πάση περιπτώσει, με αφορμή τα γενέθλια του Leonahard Euler και με κάθε αφορμή, ως μητέρες μικρών (και μεγάλων) παιδιών, οφείλουμε, νομίζω, να γνωρίζουμε ... πώς και πότε σπάει το αυγό... 
Τι άλλο να πω;

Παρασκευή, 5 Απριλίου 2013

ΑΣ ΒΑΛΟΥΜΕ ΤΟ ΜΥΑΛΟ ΜΑΣ ΝΑ ΔΟΥΛΕΨΕΙ




"Τα μαθηματικά προκύπτουν από την αλληλεπίδραση μεταξύ της δικής τους δυναμικής και της σχέσης τους με τον έξω κόσμο. Αυτή η αλληλεπίδραση είναι ζωτικής σημασίας και η απουσία οποιασδήποτε από τις δύο καταστρέφει όλες τις ιδεολογικές εκδοχές των μαθηματικών", γράφει ο Ian Stewart στη σελίδα 165 του βιβλίου του "Οι μυστικοί αριθμοί"*, θίγοντας ένα θέμα μέγιστης διδακτικής και επιστημολογικής σημασίας. 
Ο λόγος όμως που γράφω σήμερα δεν έχει να κάνει με τη Διδακτική των Μαθηματικών ούτε με τον τρόπο που αποκτούν νόημα -για τους μαθητές μας, αλλά και για μας- οι μαθηματικές έννοιες, παρόλο που το συγκεκριμένο θέμα  με απασχολεί ιδιαιτέρως και έρχεται σχεδόν καθημερινά στο προσκήνιο μέσω της διδακτικής διαδικασίας. 
Ο λόγος που γράφω σήμερα έχει να κάνει με ένα σύντομο video με τίτλο 'The Fractal Geometry of Roughness', που παρακολούθησα νωρίτερα και έχει παγιδέψει το μυαλό μου για περισσότερους από έναν -και μάλιστα φαινομενικά ασύνδετους μεταξύ τους- λόγους. Αλλά, ας τα πάρω με τη σειρά ή καλύτερα: ας προσπαθήσω να βάλω τάξη στην αταξία. :)
*****************
1ο. Πριν από λίγες μέρες, αναφέροντας σε ένα τμήμα της Γ' Λυκείου τη λέξη "φράκταλ", βρέθηκα αντιμέτωπη με την άγνοια των μαθητών μου. Κάποιοι ρώτησαν τι σημαίνει "φράκταλ" και η διαπίστωση ήταν πως κανένας στο τμήμα δεν γνώριζε. Αναρωτήθηκα για μια ακόμη φορά πόσο "λειτουργικά" είναι τα μαθήματα που διδάσκουμε στα παιδιά και κατά πόσο διασυνδέουν τα Μαθηματικά με τον έξω κόσμο, πολύ δε περισσότερο με τις εξελίξεις του έξω κόσμου.. Έδωσα δυο τρεις πληροφορίες στους μαθητές που ενδιαφέρθηκαν να μάθουν τι σημαίνει φράκταλ, εξηγώντας την "αυτο-ομοιότητα" και τους πρότεινα να "googlάρουν" "το σύνολο του Μάντελμπροτ".
*****************
2ο. Ο Ian Stewart στη σελίδα 167 γράφει: "Το όνομα του Μάντελμπροτ συνδέεται με ένα φράκταλ που επινόησε ο ίδιος και έγινε πολύ δημοφιλές: το σύνολο του Μάντελμπροτ. Αντίθετα με τα περισσότερα φράκταλ του, αυτό αποτελεί μια άσκηση καθαρών μαθηματικών - μαθηματικά για τα μαθηματικά, για τη χαρά της διανοητικής ανακάλυψης. [...] 
Τα φράκταλ είναι περίπλοκα σχήματα που δημιουργούνται από απλούς κανόνες και προδίδουν την προέλευσή τους συνδυάζοντας δαιδαλώδη αταξία με ταξινομημένη κατασκευή. 
Οι χιονονιφάδες είναι επίσης πολύπλοκα σχήματα, άρα αναμένουμε ότι η δημιουργία τους βασίζεται σε απλούς κανόνες - νόμους της φυσικής. 
Διαθέτουν επίσης αυτό το χαρακτηριστικό συνδυασμό τάξης και αταξίας, με την τάξη να είναι η εξαπλή συμμετρία και την αταξία τα περίπλοκα διακλαδιζόμενα σχήματα των φυλλωμάτων της φτέρης. Είναι η χιονονιφάδα ένα φράκταλ; Και αν ναι, πού βρίσκεται η απόδειξη; 
Το φράκταλ είναι μια αφηρημένη έννοια των μαθηματικών. 
Η νιφάδα είναι ένα πραγματικό αντικείμενο. 
Αυτά τα δύο πράγματα είναι διαφορετικής φύσεως και επομένως η χιονονιφάδα δεν είναι φράκταλ."
------------------------------------------------------------
Μη βιαστεί να συμπεράνει κανείς πως με το συλλογισμό:
"επειδή α=β, γ=δ και β διάφορο του δ, θα είναι και α διάφορο του γ", που εφάρμοσε ο Stewart παραπάνω το θέμα 'χιονονιφάδα' έληξε εδώ, επειδή θα ήταν τουλάχιστον αφελές να δεχτούμε ότι ένας τόσο απλοϊκός συλλογισμός θα μπορούσε να δώσει τέλος σε ένα τόσο σύνθετο, χαοτικό αν προτιμάτε, θέμα. Το μαρτυρά, άλλωστε, και η συνέχεια του κειμένου, από το οποίο αντιγράφω αυτούσιες μερικές ακόμη γραμμές, πριν διατυπώσω τον προβληματισμό μου ή τουλάχιστον πριν προσπαθήσω να τον διατυπώσω. Ρωτάει ο Stewart:
-------------------------------------------------------------
"Τελειώνει η ιστορία εδώ; Όχι - παρ' ότι εντυπωσιάζομαι διαρκώς από ευφυείς ανθρώπους που λένε πως τελειώνει. Η γεωμετρία των φράκταλ είναι αμφιλεγόμενη - υποθέτω λόγω της πρωτοτυπίας της - και η διαφορά μεταξύ μαθηματικών και πραγματικότητας είναι ένα καθιερωμένο επιχείρημα που προβάλλουμε για να την απορρίψουμε. Όμως, σύμφωνα με το ίδιο σκεπτικό, οι πλανήτες δεν είναι σφαίρες ή σημειακές μάζες, άρα ο νόμος του Νεύτωνα για τη βαρύτητα δεν λέει τίποτε για πλανήτες. Ένας κρύσταλλος δεν είναι ένα τέλειο κανονικό πλέγμα, άρα οι κρυσταλλογραφικές συμμετρίες δεν μας λένε τίποτε για τους κρυστάλλους. Ένας Ναυτίλος δεν είναι μια σπείρα, το DNA δεν είναι μια διπλή έλικα...
Ας βάλουμε το μυαλό μας να δουλέψει. Οι μαθηματικές έννοιες είναι πάντοτε εξιδανικεύσεις του πραγματικού κόσμου, έτσι λειτουργούν τα μαθηματικά. Αντικαθιστούμε την ακαταστασία του πραγματικού κόσμου από μια προσεκτικά επιλεγμένη εξιδανίκευση, εύκολη στην κατανόησή της και τότε έχουμε μια ευκαιρία να καταλήξουμε κάπου..."
*****************
Και η 'ιστορία', προφανώς, δεν τελειώνει ούτε εδώ, τουλάχιστον όχι στη σελίδα 168. :) Ακολουθούν άλλες πενήντα  σελίδες γεμάτες με προβληματισμό γύρω από τη φύση του χάους, καθώς και με  λογικά επιχειρήματα, τα οποία, εν τέλει, θεμελιώνουν τη θεωρία πως 'το Χάος είναι μια φαινομενική τυχαιότητα με καθαρά ντετερμινιστικό αίτιο', ώσπου στην τελευταία παράγραφό του ο Stewart, με τη σεμνότητα και τη σύνεση που χαρακτηρίζουν έναν κορυφαίο επιστήμονα, ομολογεί:

"...έχω επίγνωση του πόσο λίγα γνωρίζουμε για τον κόσμο μας. Πόσο φτωχή είναι η ιστορία μου για τη χιονονιφάδα μπροστά στην εκθαμβωτική πραγματικότητα! Υπάρχουν ακόμη τόσα πολλά να μάθουμε!"
*****************
3ο. Ανάμεσα στα πολλά που ο καθένας από μας έχει ακόμη  να μάθει, πιστεύω πως θα ήταν χρήσιμο να συμπεριληφθεί και μια γνώση που αφορά στο πώς ο Benoit Mandelbrot ανακάλυψε τα σύνολα που φέρουν το όνομά του, πώς έφτασε σ' αυτά και ποια ήταν τα ερωτήματα που προσπάθησε να απαντήσει. Ιδού μερικά όπως τα έχει διατυπώσει ο ίδιος:

"...Τι σχήμα έχει ένα βουνό, μια ακτογραμμή, ένας ποταμός, ένα σύννεφο, μια φλόγα; Πόσο πυκνή είναι η κατανομή των γαλαξιών στο Σύμπαν; Πώς μπορεί κάποιος να περιγράψει την μεταβλητότητα στις τιμές των μετοχών; Οι αριθμοί μετρούν εμβαδά και μήκη. Θα μπορούσε κάποιος άλλος αριθμός να μετράει την «τραχύτητα» του σκουριασμένου σιδήρου, ή του θρυμματισμένου γυαλιού; Την πολυπλοκότητα ενός μουσικού θέματος ή της αφηρημένης τέχνης; Μπορεί η γεωμετρία να κομίσει αυτό που υπόσχονται οι ελληνικές ρίζες της ονομασίας της – αληθείς μετρήσεις, όχι μόνο των καλλιεργημένων χωραφιών κατά μήκος του ποταμού Νείλου αλλά επίσης και της αδάμαστης Γης;
Η ζωή μου ήταν γεμάτη από τέτοια ερωτήματα..."

------------------------------------------------------------------
Μπορείτε, αν θέλετε, να διαβάσετε ολόκληρο το πολύ ενδιαφέρον κείμενο του Mandelbrot στο profil των Εκδόσεων Τραυλός στο facebook ακριβώς κάτω από την κοινοποίηση: 
"Great news! Μόλις "κλείσαμε" για την ελληνική γλώσσα την  ΑΥΤΟ-βιογραφία του Benoit Mandelbrot "The Fractalist". "
Επίσης μπορείτε να δείτε το video, (εδώ), που είδα κι εγώ νωρίτερα,  και με προβλημάτισε για πολλούς και διάφορους λόγους. Φαινομενικά ασύνδετους, όσο ασύνδετα είναι τα όργανα της αναπνοής μας - δηλαδή οι "κακώς ορισμένοι" φράκταλ πνεύμονες για τη συνολική επιφάνεια των οποίων οι ανατόμοι διαφωνούν - με τις ελεύθερες αγορές και τη μεταβλητότητα των μετοχών...
Ο Mandelbrot κατάφερε ό,τι κατάφερε αντιστρέφοντας μια κατάσταση: χρησιμοποίησε τις επινοημένες μαθηματικές του έννοιες, για να περιγράψει πραγματικά αντικείμενα. 
Κατασκεύασε μια Γεωμετρία για αντικείμενα που μέχρι τότε δεν είχαν γεωμετρία. Οι πνεύμονες, τα νεφρά, οι εγκέφαλοί μας, οι τιμές στο χρηματιστήριο...τόσο οι πραγματικές αυξήσεις των τιμών όσο και οι πλασματικές αυξήσεις**, περιγράφονται με την ίδια φράκταλ (μορφο-κλασματική) Γεωμετρία, που ακόμη αγνοούμε και ως εκ τούτου οι περισσότεροι δεν την ... χρησιμοποιούμε, γι' αυτό ας βάλουμε το μυαλό μας να δουλέψει, μήπως και βρεί τρόπους που θα κάνουν το μυαλό των παιδιών μας να δουλέψει και κάποιο από αυτά στο μέλλον ίσως να παρατηρήσει, όπως ακριβώς κι ο Mandelbrot παρατήρησε στο πρόσφατο παρελθόν, αυτό που σήμερα όλοι εμείς απλά κοιτάζουμε, χωρίς να το κατανοούμε. Ίσως μόνο έτσι υπάρχει ελπίδα να σωθούμε.
Διαβάστε, μικροί μεγάλοι, γιατί χανώμαστε...(δηλαδή, χανόμαστε...)

------------------------------------------------------------------------------------------
* Ένα μικρό απόσπασμα από το βιβλίο "Οι μυστικοί αριθμοί" του Ian Stewart έχω αντιγράψει παλιότερα εδώ
**Και όσοι, Δ.Χ., επιμένουν πως οι ελεύθερες αγορές μπορούν να λειτουργήσουν τόσο ομαλά όσο το "κορώνα-γράμματα", ας διαβάσουν τον πίνακα του Χάους, ή έστω την περίληψη που υπάρχει εδώ