Σάββατο, 16 Ιανουαρίου 2016

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ

και Η ΓΕΝΙΚΗ ...ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ!


Είπα να περάσω το υγρό και γκρίζο απομεσήμερο του Σαββάτου, διορθώνοντας τα τεστ της Γεωμετρίας, που έγραψαν χθες οι μαθητές μου. Η Γεωμετρία δεν είναι όπως είναι η Άλγεβρα. Απαιτείται αρκετός χρόνος, για να διορθωθούν τα γραπτά, ειδικά όταν οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν σε ασκήσεις σαν κι αυτή που τους έβαλα:

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ  με ΑΒ<ΑΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Παίρνουμε σημείο Ε πάνω στην ΑΓ, τέτοιο ώστε ΑΕ = ΑΒ.

Α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΔΕ                                                                  

Β) Αν η ΔΕ τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Κ, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΒΔ και ΔΕΓ είναι ίσα                                                                                      

Γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΔ:

 i) είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΕ                                                 

ii) διέρχεται από το μέσο της ΚΓ.   

Κλασική άσκηση, πανταχού παρούσα. Σπασμένη σε κομμάτια, για να μοιραστούν οι βαθμοί, να απαντηθούν πιο εύκολα τα ερωτήματα. Και όμορφη άσκηση, με τις συμμετρίες της, με το αεροδυναμικό σχήμα της, με όλα  τα καλά της, τέλος πάντων. Σχήμα δεν έδωσα στα θέματα. Έπρεπε να το φτιάξουν μόνοι τους, γιατί ήταν μέρος της εξέτασης. Τους είχα πει πως δεν θα δώσω.  Άλλωστε, είχαμε κάνει τρεις τέσσερις -εξίσου κλασικές- παρόμοιες. Γι' αυτό κανένας δεν αντέδρασε, όταν μοίρασα τα θέματα. Μια χαρά έγραψαν ήσυχα ήσυχα, μια χαρά έκατσα κι εγώ σήμερα, μετά το μεσημεριανό, να διοθρώσω τα γραπτά. Κι έφτασα λίγο κάτω από τη μέση, αλλά σταμάτησα. Σε αυτά που διόρθωσα βρήκα και 20άρι και 18άρια, δύο, και 16άρια, όπως βρήκα και τρία τεσάρια. Μόνο τα μισά από τα "Σωστά-Λάθος"  είχαν απαντήσει αυτοί οι τρεις. Αυτούς τους μαθητές, που είναι ὡς  εἰσίν παρόντες στην τάξη τους, τα χρόνια που δούλευα σε φροντιστήριο, κάποιοι τους έλεγαν "αιμοδότες".


Αλλά ο λόγος που διέκοψα τη διόρθωση δεν είναι η συγκεκριμένη κατηγορία μαθητών. Το πρόβλημα με τα παιδιά που έρχονται στο Λύκειο, κουβαλώντας στην πλάτη τους μια τσάντα, που δεν ανοίγει ποτέ, είναι μεγάλο, πολυπαραγοντικό και πιστεύω πως δεν προσεγγίζεται αμιγώς εκπαιδευτικά ή παιδαγωγικά... Εκτός ίσως από κάποιες μεμονωμένες περιπτώσεις. Τέλος πάντων.
Ο λόγος που διέκοψα τη διόρθωση ήταν η απάντηση ενός γραπτού, όπου εμφανίζεται ένα λάθος που γίνεται κατ' επανάληψη και όχι μόνο στη Γεωμετρία. Γίνεται παντού. 
Το σχήμα στο γραπτό ήταν σχετικά καλό και είχε απαντηθεί σωστά το  ερώτημα Α, αλλά καθόλου το Β, ενώ η απάντηση στο ερώτημα Γ ήταν η εξής:
(Παραθέτω σχήμα -όχι του γραπτού, αλλά το δικό μου- για την καλύτερη κατανόηση της απάντησης, που δόθηκε).

 Γ) i) Εφόσον ΒΔ=ΔΕ, τότε ΑΔ αποτελεί τη μεσοκάθετός τους.
ii) Εφόσον ΑΔ ευθεία και μεσοκάθετος, τότε αν την προεκτείνουμε γίνεται μέσο της ΚΓ.
  
Η απάντηση  είναι (αντι)γραμμένη κατά γράμμα. Δεν πρόσθεσα και δεν παρέλειψα τίποτα.
Τη διάβασα αρκετές φορές, για να καταλάβω τι δεν έχει καταλάβει και τι δεν ξέρει το παιδί που την έδωσε, επειδή στη λειτουργία της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος  επιμείνω πολύ. Και όταν λέω ότι επιμένω πολύ, δεν εννοώ μόνο ότι κάνω πολλές ασκήσεις, αλλά και ότι εξηγώ πως δεν έχει νόημα να λέμε "η μεσοκάθετος" σκέτα. Πρέπει να λέμε "η μεσοκάθετος του τάδε ευθύγραμμου τμήματος". Με άλλα λόγια η μεσοκάθετος προσδιορίζεται πάντοτε από  μια  γενική κτητική. (Είναι;)  Όπως και "το κέντρο του κύκλου". Δεν λέμε σκέτα "το κέντρο", επειδή είναι υποχρεωτικό να εξηγήσουμε για ποιο ακριβώς κέντρο μιλάμε. Αυτές οι γεωμετρικές έννοιες, και άλλες πολλές γεωμετρικές και αλγεβρικές, πρέπει να προσδιορίζονται. 
Πρέπει να συνοδεύονται αναγκαστικά, στα προφορικά και στα γραπτά μας, από έναν ετερόπτωτο προσδιορισμό.  Για να είμαι ειλικρινής, αυτό, περί του ετερόπτωτου προσδιορισμού, δεν το είχα πει στο μάθημα. Όμως μέχρι πού να φτάσει κανείς, προσπαθώντας να εξηγήσει στους δεκαπεντάχρονους την Ευκλείδεια Γεωμετρία;
Ένιωσα όμως την ανάγκη να το ψάξω τώρα στο ίντερνετ. Δηλαδή, το έψαξα  όταν -διαβάζοντας την παραπάνω απάντηση- σταμάτησα τη διόρθωση των γραπτών. Ψάχνοντας στο διαδίκτυο βρήκα πολλά και ωραία παραδείγματα για τους "Ετερόπτωτους προσδιορισμούς σε γενική και αιτιατική" .  
"Στυλό διαρκείας", "γλυκό του κουταλιού", "ποτήρι του κρασιού", "κορυφή του βουνού"... 
Σε κανένα παράδειγμα όμως "μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος", "κέντρο του κύκλου",  "διχοτόμος της γωνίας"... :). Λογικό, αφού αυτοί που γράφουν τη Γραμματικη δεν είναι μαθηματικοί! 
Αλλά κι αυτοί που είναι μαθηματικοί δεν κολλάνε στη λεπτομέρεια του ετερόπτωτου προσδιορισμού.

Δεν ξέρω σε ποια τάξη διδάσκονται οι ετερόπτωτοι προσδιορισμοί, πιστεύω όμως πως θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο και πολύ βολικό, αν κατά τη διδασκαλία τους αντλούνταν παραδείγματα από την ύλη των Μαθηματικών!  Με αυτόν τον τρόπο αφενός θα δινόταν χρόνος στους μαθητές να αφομοιώσουν τις έννοιες και προς τις δύο κατευθύνσεις, αφετέρου θα περνούσε το μήνυμα πως τα Μαθηματικά είναι παντού, όπως είναι και η γλώσσα και πως η γνώση είναι συνεκτική και ενιαία. 
Ίσως έτσι να γινόταν κατανοητό πως η "μεσοκάθετος" είναι μια έννοια σχετική, αφού η μεσοκάθετος είναι μια ευθεία της οποίας τα σημεία έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα σε σχέση με ένα συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα. Μπορεί βέβαια μια ευθεία να είναι ταυτόχρονα μεσοκάθετος πολλών (άπειρων αν προτιμάτε) ευθύγραμμων τμημάτων (αρκεί αυτά να είναι μεταξύ τους παράλληλα και η ευθεία να διέρχεται από τα μέσα τους, υπό ορθή γωνία), αλλά δεν μπορεί να υπάρξει μια ευθεία ως μεσοκάθετος κανενός ευθύγραμμου τμήματος, δηλαδή μια "απόλυτη" και "καθολική" μεσοκάθετος,  όπως αυτή που αναφέρεται στην παραπάνω λύση του γραπτού, που έγινε αφορμή να σταματήσω τη διόρθωση και να ψάξω στη Γραμματική, για να προσδιορίσω τι είδους είναι η γενική... 

Μήπως, με αφορμή τον εθνικό και κοινωνικό διάλογο για την Παιδεία, να ... επεκταθεί η υπάρχουσα Γραμματική και - μεταξύ των ετερόπτωτων προσδιορισμών - ανάμεσα στη γενική κτητική και γενική αντικειμενική να προσθέσουμε και μια "γενική γεωμετρική";
Να συμπεριλάβουμε, έστω, μια παράγραφο με αναφορές στη "γενική της Γεωμετρίας";  :)

Αλλά αυτό θα μπορούσε να προκύψει μόνο ως προϊόν αγαστής συνεργασίας...
          

3 σχόλια:

  1. Αγαπητή Κατερίνα, υπέροχες οι σκέψεις σου.Τί να πρωτοσχολιάσω (και να συμφωνήσω μαζί του)! Από το "σπάσιμο" της άσκησης για το μοίρασμα των βαθμών και όχι ίσως, για τα στάδια της σκέψης για την επίλυση μιάς άσκησης ή ενός προβλήματος!Ή μήπως να σχολιάσω τις "συμμετρίες" και "το αεροδυναμικό του σχήμα" που οι δάσκαλοι με μεράκι, απλά σου γελούν διαβάζοντάς τα; Θα προσθέσω, ωστόσο, τη συμφωνία μου για την έλλειψη μαθηματικών προτάσεων ως παραδείγματα στο μάθημα της Γλώσσας (αν και οι φωτεινές εξαιρέσεις στον κανόνα σίγουρα θα υπάρχουν). Ως μαθηματικοί, όμως, έχουμε μερίδιο...Γιατί αντιμεταθετική, προσεταιριστική ή επιμεριστική ιδιότητα; Έχει νόημα η ονομασία "ουδέτερο στοιχείο" ή γιατί ονομάστηκαν "άρρητοι" οι αριθμοί δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα; Και να σχολιάσω ίσως και το "ως κλάσμα" ή το "σαν κλάσμα"; Για να είμαι όμως και εντός θέματος του άρθρου, θα ήθελα να επισημάνω και την έκφραση: "μεσοκάθετος του τριγώνου", με την οποία διαφωνώ με τους μαθητές μου όταν λέγεται. Θα ολοκληρώσω τις σκέψεις μου (αν και όπως ξέρετε θα ήθελα πολύ να τα μοιραζόμουν όλα αυτά τα καθημερινά μας βιώματα με απεριόριστες λεπτομέρειες μαζί σας) με την γενική στα κλάσματα. " Ξόδεψα τα 2/3 των χρημάτων μου", για παράδειγμα. Απλά ήθελα να επισημάνω οτι το τονίζω πολύ και σ' αυτό το σημείο. (Ελπίζω να μην έκανα πολλά συντακτικά λάθη στη γλώσσσα μας και εγώ!) Καλό σας βράδυ!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Άννα, σε ευχαριστώ πολύ που συμπληρώνεις με ωραία παραδείγματα αυτά που γράφω...
      Ίσως θα πρέπει να συνεργαστούμε με κάποιον τρόπο!

      Διαγραφή
    2. Με πολλή χαρά θα το ήθελα...

      Διαγραφή