Τετάρτη, 3 Φεβρουαρίου 2016

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΜΗΔΕΝ

"Το μηδέν είναι μια απουσία βιωμένη σαν παρουσία", έλεγε ο αείμνηστος Ντενί Γκετζ, όταν υπέγραφε το βιβλίο του, "ΜΗΔΕΝ".  Με λίγες μόνο λέξεις κατάφερνε να δώσει τη λειτουργία της έννοιας του μηδενός, ως συμβόλου, που το χρησιμοποιούμε, για να δηλώσουμε πως στη θέση που μπήκε το μηδέν - μια τρύπα δηλαδή - δεν θα μπει κάτι άλλο. Αυτό το κάτι άλλο, όποιο κι αν επρόκειτο να είναι, αναγκαστικά θα απουσιάσει από τη θέση που έχει καταλάβει το μηδέν.
Με άλλα λόγια, η παρουσία του μηδενός δηλώνει την απουσία του άλλου...
Τόσο απλά και συνάμα τόσο σύνθετα και τόσο βαθιά φιλοσοφικά!
Όπως ακριβώς είναι τα Μαθηματικά! :)
Και το μηδέν, που παίζει κεντρικό ρόλο στα Μαθηματικά, είναι λιτό και ταυτόχρονα είναι δύσκολο και μυστήριο και ως αριθμός και ως έννοια και ως παρουσία και ως απουσία και γενικά με όλες του τις λειτουργίας, που -για να λέμε την αλήθεια- κάθε άλλο παρά λίγες είναι.
Γι' αυτό άλλωστε πολύ συχνά γίνεται θέμα συζήτησης στο μάθημα των Μαθηματικών.
"Ο παρονομαστής απαγορεύεται να γίνει ίσος με το μηδέν!" και "Άλφα επί μηδέν μηδέν" και "Άλφα στη μηδενική ένα" και "Άλφα πλην άλφα μηδέν" και άλλα πολλά, που σε κάποιους μπορεί να φαίνονται απλά, αλλά κατά βάθος δυσκολεύουν τα παιδιά. Ειδικά τα μικρά παιδιά, όπως οι μαθητές της Α' Γυμνασίου που σιγά σιγά εισάγονται αυτήν την περίοδο στην Άλγεβρα, μελετώντας την ευθεία των ρητών αριθμών.

"Ξέρετε γιατί τους λέμε "ρητούς αριθμούς";", ρώτησα όταν κάναμε το πρώτο μάθημα του 7ου Κεφαλαίου. Στο ένα τμήμα απάντησε κάποιος αμέσως: "Επειδή μπορούμε να τους πούμε...".
Κάπου θα το είχε ακούσει, σίγουρα. Στο άλλο τμήμα δεν απάντησε κανείς και ρώτησα αν μπορούν να σκεφτούν άλλες σχετικές λέξεις. Είπαν τον "ρήτορα", το "ρητό" και σιγά σιγά φτάσαμε και στην ετυμολογία της λέξης. Εκείνη τη στιγμή ακούστηκε η κελαρυστή φωνή της  Ιωάννας, που είναι πάντα περίεργη και ρωτάει τα πάντα και με κάνει να μη θέλω να φύγω από την τάξη τους... :)
"Και γιατί τους λέμε ρητούς; Υπάρχουν και άρρητοι;".
Τι να απαντήσεις τώρα; Πώς δεν υπάρχουν!?  Ή μήπως να πεις "Υπάρχουν, αλλά θα τους μάθετε του χρόνου..."; Είναι δυνατόν να αντέξουν τόσο φιλοπερίεργα και φιλομαθή πλασματάκια να περάσει ολόκληρη η χρονιά, για να λύσουν τις απορίες τους;
Η ερώτηση προφανώς και είναι ρητορική. Και η απάντηση που έδωσα είναι αναμενόμενη και προφανής. "Ναι, παιδιά! Υπάρχουν και άρρητοι, που κατοικούν κι αυτοί μαζί με τους ρητούς πάνω στην ευθεία των αριθμών...".
Τα μάτια τους άνοιξαν διάπλατα, καθώς τα κεφάλια έγερναν μπροστά από έκπληξη, περιέργεια και μια ανεπαίσθητη δόση αμφιβολίας. "Πείτε μας έναν άρρητο αριθμό, κυρία!", ακούστηκε ξανά η φωνή της Ιωάννας! [Θωμά θα έπρεπε να το βαφτίσουν αυτό το κορίτσι. Πάντα ζητάει αποδείξεις! :)]
Τι κρίμα που κάνουμε μόνο τέσσερις ώρες την εβδομάδα Μαθηματικά! Κι έχουμε να πούμε τόσα πολλά...Από την άλλη όμως πώς μπορώ να περιορίσω τη φαντασία και τις γνώσεις των μικρών μου μαθητών στους ορισμούς που δίνει το σχολικό βιβλίο; Οι περισσότερες έννοιες για λόγους πρακτικούς (;) παρουσιάζονται σαν συσκευασμένες μερίδες fast food.
Κάτι τέτοιο μου θυμίζει ο ορισμός των ρητών αριθμών, που δίνεται στη σελίδα 115 του σχολικού:

  • Ρητοί αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας έως τώρα αριθμοί: φυσικοί, κλάσματα και δεκαδικοί, μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς
 Ο ορισμός αυτός, πιστεύω, θέλει πολλή συζήτηση  για διάφορους λόγους, αλλά θα αναφέρω μόνο δύο. Πρώτον αναφέρει τους δεκαδικούς σαν διακριτούς αριθμούς και με τον τρόπο αυτό διαιωνίζει το πρόβλημα που κουβαλάνε οι μικροί (και οι μεγάλοι δυστυχώς) μαθητές από το Δημοτικό. 
Στο Δημοτικό, κατά κοινή ομολογία, οι δεκαδικοί λειτουργούν κατά κάποιον τρόπο σα σανίδα σωτηρίας στο τρομακτικό πέλαγος των κλασμάτων! Αμέσως μόλις διδαχτούν οι δεκαδικοί, τα κλάσματα εκτοπίζονται, εξαφανίζονται... Αντικαθιστώνται παντού και πάντα από δεκαδικούς, χωρίς μάλιστα να ενοχλείται κανείς από το σφάλμα της αποκοπής. Με αυτόν τον τρόπο οι μικροί μαθητές συνδέονται  συναισθηματικά με τους δεκαδικούς, τους οποίους θεωρούν φιλικούς και αρνούνται να τους δουν ως μια άλλη μορφή των κλασμάτων. 
Το δεύτερο και εξίσου σημαντικό είναι ότι οι όροι, τα ονόματα, οι λέξεις που χρησιμοποιούμε στα σχολικά Μαθηματικά "επιβάλλονται"- κατά κόρον - χωρίς αιτιολόγηση, χωρίς καμία επεξήγηση και, πολύ συχνά, χωρίς μια υποτυπώδη έστω διασύνδεση με προηγούμενες και επόμενες έννοιες. Επομένως ζητάμε από τους μαθητές να θυμούνται, χωρίς να κατανοούν και να εκτελούν χωρίς να ... αμφισβητούν!
Όταν όμως οι μαθητές που έχεις απέναντι είναι τύπου Ιωάννας είναι δύσκολο να λειτουργήσει αυτή η συγκεκριμένη πρακτική του "πίστευε και μη ερεύνα..."! 
Ευτυχώς, δηλαδή, που δεν λειτουργεί.
Σε εκείνο το πρώτο μάθημα του 7ου Κεφαλαίου αφιέρωσα χρόνο, για να απαντήσω στις ερωτήσεις της Ιωάννας και των άλλων μαθητών. Αναγκάστηκα να αναφέρω τους άρρητους αριθμούς, δηλαδή αυτούς που σε αντίθεση με τους ρητούς δεν μπορούν με πεπερασμένο πλήθος λέξεων να ειπωθούν ή με πεπερασμένο πλήθος συμβόλων να παρασταθούν... [Το "πεπερασμένο" το χρησιμοποιώ στο μάθημα κι ας είναι μικρά τα παιδιά, το κατανοούν και το χρησιμοποιούν σωστά, μαθαίνοντας συγχρόνως και Ελληνικά].  Ανέφερα  το παράδειγμα του λόγου του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς το μήκος της πλευράς του και όταν οι ερωτήσεις πύκνωσαν, τους έκλεισα το μάτι και τους είπα πως όλα αυτά τα όμορφα και άλλα τόσα κι ακόμα περισσότερα τους περιμένουν του χρόνου και του παραχρόνου και στο Λύκειο και πάει λέγοντας.
Κι έβλεπα στο βλέμμα τους να αυξάνονται οι προσδοκίες  και η λαχτάρα τους και οι επιθυμίες.
Είναι πολύ όμορφο το θέαμα των παιδιών, όταν είναι σε τέτοια κατάσταση. 
Και ελπιδοφόρο είναι και παρήγορο...
Από εκείνο το πρώτο μάθημα πέρασαν μέρες. Κάθε μέρα κάτι ενδιαφέρον και ιδιαίτερο συμβαίνει στην τάξη, αλλά ο χρόνος τρέχει και λίγα προλαβαίνω να καταγράψω εδώ. 'Όμως όλα τα κρατώ. Τα συλλέγω και τα μελετώ και με τον τρόπο αυτό μαθαίνω πολλά από όσα λένε και κάνουν αυτά τα φοβερά τα παιδιά.
Στο χθεσινό μάθημα, για παράδειγμα, ενώ λύναμε τις ασκήσεις στη σελίδα 121 του σχολικού και είχα σχεδιάσει στον πίνακα την ευθεία των αριθμών, ρώτησα "Πόσο απέχει από την αρχή το -12;".
Σηκώθηκαν αρκετά χέρια να απαντήσουν πως απέχει 12. Σωστά. Και προχωρήσαμε παρά κάτω. Τότε σηκώθηκε ένα χέρι και χωρίς να προλάβω να δώσω το λόγο, ακούστηκε η μαθήτρια πολύ αποφασισμένη να λέει: "Εγώ διαφωνώ!".
"Σε τι διαφωνείς, Υρώ; Δεν απέχει 12;", ρώτησα εγώ.
"Διαφωνώ που είπατε ότι απέχει από την αρχή, κυρία. Από το μηδέν απέχει, όχι από την αρχή". "Μάλιστα! Και δεν είναι το μηδέν η αρχή;", ρώτησα.
"Όχι! Το μηδέν είναι η μέση του άξονα, δεν είναι στην αρχή!", επέμενε η Υρώ!
(Υρώ, από το Αργυρώ)! 
Ήταν τόσο τέλεια και τόσο σωστή η παρατήρηση της. Τόσο αποκαλυπτική για το τι βλέπει ένα παιδί...
Αχ, να μην έχω στη διάθεσή μου όσο χρόνο χρειάζομαι, για να μιλήσω μαζί τους, να τα ρωτήσω ένα ένα τι βλέπουν εκεί που εγώ βλέπω την "αρχή μέτρησης" του άξονα των πραγματικών...
"Η αρχή είναι θέμα ορισμού" είπα, προσπαθώντας να διαλέξω στα γρήγορα τι χρειάζεται να πω από όλα αυτά που είχαν πλημμυρίσει τη σκέψη μου για το "σημείο μηδέν".
Ακόμη και τους Δίδυμους Πύργους θυμήθηκα...
Αρκέστηκα να πως πως το "σημείο μηδέν" είναι το σημείο από το οποίο μετράμε τις αποστάσεις.
Δηλαδή είναι το σημείο από το οποίο αρχίζουμε τη μέτρηση και όχι η αρχή ενός άξονα.
Και οι πόλεις έχουν το "σημείο μηδέν" τους, για να μετράνε την απόστασή τους από άλλες πόλεις.
Η Θεσσαλονίκη έχει "σημείο μηδέν" την Πλατεία Δημοκρατίας... Η Αθήνα την Πλατεία Ομόνοιας.

Το μηδέν  ως αριθμός, το μηδέν μια απουσία δηλωμένη ως παρουσία, το μηδέν ως θέση και ως αρχή μέτρησης αποστάσεων, γίνεται συχνά αφορμή για συζήτηση στην τάξη, αλλά κυρίως μας δίνει αφορμή για σκέψη και περισυλλογή...

3 σχόλια:

  1. Αγαπητή και αγαπημένη, Κατερίνα… Τι όμορφες σκέψεις και πάλι! Πόσο όμορφα περιγράφεις την πλούσια καθημερινότητά μας με τα παιδιά και κυρίως, με τα μικρά μικρά που κάνουν τη μετάβαση από την αριθμητική στην άλγεβρα. Οι απορίες τους, αλλά και ο τρόπος που διδάσκεις αναπόφευκτα αναδύουν τις έννοιες που θα συναντήσουν αργότερα οι μαθητές, για παράδειγμα τους άρρητους αριθμούς. Αλλά ακόμα και οι αρνητικοί αναδύονται πολύ πολύ νωρίτερα από την αρχή της χρονιάς (και γιατί να μην είναι αυτό επιθυμητό και διδακτικά αξιοποιήσιμο; Άλλωστε αυτές οι απορίες δεν οδηγούν και στην εξέλιξη των επιστημών;) Αναφορικά με το «μηδέν» και τον άξονα των πραγματικών αριθμών μία μαθήτρια μου είπε: «Κυρία, δηλαδή το μηδέν είναι το σύνορο ανάμεσα στον κόσμο των θετικών και των αρνητικών αριθμών!» Ενθουσιασμένη της είπα πόσο πολύ μου αρέσει η οπτική της και η λογοτεχνική διατύπωση της μαθηματικής της σκέψης. Τελειώνοντας, θα κλείσω με ένα ερώτημα σχετικά με το μηδέν, που είτε προκύπτει είτε το θέτω στους μαθητές μου (η διάκριση είναι δύσκολη, λόγω της αλληλεπίδρασης μας κατά τη διάρκεια του μαθήματος): «Το μηδέν είναι ζυγός;» Και πώς απαντάμε; Παίρνοντας παραδείγματα από τη καθημερινή ζωή ή μέσα στο μαθηματικό πλαίσιο; Ποια προσέγγιση είναι πιο κατανοητή για τα παιδιά και μήπως είναι μία καλή αφορμή για να καταλάβουν ότι το σύστημα των μαθηματικών δεν χρειάζεται να ερμηνεύεται μόνο με παραδείγματα από την καθημερινότητα (χωρίζω σε ζευγάρια), αλλά μέσα στα μαθηματικά (το ένα είναι περιττός, το μηδέν ζυγός)
    Κατερίνα, σ’ ευχαριστώ για το βήμα…

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Εγώ σε ευχαριστώ για τα όσα ενδιαφέροντα γράφεις.
      Είναι πολύ όμορφο να μοιραζόμαστε σκέψεις, ιδέες και εμπειρίες...
      Βοηθάει στο να ξεπερνάμε ευκολότερα κάποια εμπόδια, να πετυχαίνουμε γρηγορότερα κάποιους στόχους και, κυρίως αυτό, να νιώθουμε ότι είμαστε ομάδα! :)

      Διαγραφή
  2. Για λόγους αρχείου, μεταφέρω σχόλια φίλων από το fb εδώ
    και συγχρόνως ευχαριστώ όλους τους συναδέλφους για τα καλά και εμψυχωτικά τους λόγια. :)

    Haralampos Passalis: Πολύ ενδιαφέρον κείμενο από πολλές απόψεις. Δέχεσαι επισκέπτες-ακροατές στις τάξεις σου;

    Thomas Papadopoulos Πολύ καλό!!!
    Κάποια στιγμή να τα συγκεντρώσεις σε βιβλίο. Θα είναι χρήσιμο - εκτός από ευχάριστο - ανάγνωσμα για τους νέους δασκάλους μαθηματικών.
    Αλλά οι έννοιες είναι πολύ δύσκολες για παιδιά (και όχι μόνο) Κατερίνα. Δεν ξέρω, ειληκρινά δεν ξέρω, αν τα λέμε σωστά. Αν όμως καταγράψεις συζητήσεις που γίνονται μέσα στην τάξη τότε αυτό κι αν είναι "υλικό" για προβληματισμό. Κρατάω τον αναστεναγμό σου ως ελπίδα:
    "Αχ, να μην έχω στη διάθεσή μου όσο χρόνο χρειάζομαι, για να μιλήσω μαζί τους, να τα ρωτήσω ένα ένα τι βλέπουν εκεί που εγώ βλέπω την "αρχή μέτρησης" του άξονα των πραγματικών..."

    Ανδρέας Λύκος Σ' ευχαριστώ για την ιδιαίτερη οπτική σου στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Αποτελεί (και) για μένα πηγή έμπνευσης. Δίνεις τέτοιες (και τόσες) διαστάσεις στα μαθήματά σου, Κατερίνα, που σε λίγο θα θέλω να διδάξω σε γυμνάσιο (χαχα).

    Vasilis E Stefanidis Το ιστολόγιό σου ,όπως και πάλι το αποδεικνύεις με την καινούρια σου ανάρτηση, θα έπρεπε να λέγεται και " η φωνή των μαθηματικών". Ευχαριστώ για όσα γράφεις-αισθάνεσαι - αναλύεις- σκέφτεσαι-επιδιώκεις ως μια από εμάς και το σπουδαιότερο σα να τα γράψαμε εμείς (ελπίζω να μην είναι ιεροσυλία) εκφράζοντάς μας έχουσα το δώρο της λογοτεχνικής αλλά και της άμεσης -αληθινής γραφής.

    Tsamourikat Tsamourikat Κατερινα ειναι ενα πολυ ωραιο κειμενο για το τρομερο και επικινδυνο ´ μηδεν ´εμπνευσμενο απο παιδια Γυμνασιου!!! που τολμουν να παιρνουν θεση αλλα και να αμφισβητουν τον τροπο που τους διδασκουμε τα μαθηματικα...Για το τελευταιο ομως νομιζω οτι εσυ εισαι η εμπνευση που τους οδηγει σε αυτη τη τοσο δημιουργικη αμφισβητηση.... Τυχερες και οι δυο πλευρες της αιθουσας!!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή