Δευτέρα, 12 Δεκεμβρίου 2016

ΑΠΟΥΣΙΑ ΦΩΝΗΣ...

Την Παρασκευή, όταν επέστρεψα από το σχολείο διαπίστωσα ότι είχα πυρετό. Σχεδόν όλη την προηγούμενη εβδομάδα δεν ένιωθα καλά, αλλά οι πολλές υποχρεώσεις δεν μου άφηναν περιθώριο να ασχοληθώ με το θέμα αυτό. Μετά από ένα διήμερο με πυρετό και πονόλαιμο, την Κυριακή ο πυρετός έπεσε. Και ο πονόλαιμος υποχώρησε αισθητά, αλλά μαζί του υποχώρησε ολοσχερώς και η δυνατότητα λεκτικής έκφρασης. Μόνο κάτι άναρθρους ήχους παράγω από χθες το βράδυ και αυτούς με υπερπροσπάθεια και με έντονο τσούξιμο  που παραμένει ενοχλητικό στο λάρυγγά μου αρκετή ώρα μετά την προσπάθεια που κάνω για να   μιλήσω. Αναγκαστικά σταμάτησα να μιλώ και, από χθες το βράδυ, μόνο εφόσον υπάρχει ισχυρή απαίτηση επικοινωνίας ψιθυρίζω.   
Μπήκα το πρωί στην Α΄ τάξη, χωρίς να πω "Καλλλημέρρραααα παιδιάαα!", που ειδικά το πρωί της Δευτέρας συνοδεύεται και με το "Καλλλή εβδομάδα! Είσαστε καλλλά;" και ακούγεται δυνατά, ενώ προχωρώ από την πόρτα μέχρι την έδρα. 
Σήμερα μπήκα αθόρυβα, έτρεξα στον πίνακα και έγραψα:
"Καλημέρα! Έχει κλείσει ο λαιμός μου. Θα γράψω ασκήσεις να τις κάνουμε..."
Άκρα του τάφου σιωπή...
Από κείνη τη στιγμή και μέχρι να χτυπήσει το κουδούνι, όλοι μιλούσαμε ψιθυριστά και δουλεύαμε με πολλή συγκέντρωση. Κάναμε μια γερή επανάληψη για το αυριανό τεστ και δεν καταλάβαμε πώς πέρασε η ώρα.
Ούτε ένας δεν διερωτήθηκε γιατί μιλάμε ψιθυριστά, δηλαδή για ποιο λόγο μιλάνε και όλοι  οι άλλοι ψιθυριστά, αφού μόνο ο δικός μου ο λαιμός έχει κλείσει.
Οι δυο μαθητές του πρώτου θρανίου από την πλευρά των παραθύρων, του θρανίου δηλαδή  που είναι κολλημένο στην έδρα, σε κάθε άσκηση που κάνουμε βρίσκουν συνήθως διαφορετικά αποτελέσματα και μετά ξεκινούν μεταξύ τους μια έντονη αντιπαράθεση για το ποιος έχει κάνει λάθος. Το ό,τι βρίσκομαι σε απόσταση μόλις σαράντα πόντων και ακούω όσα λένε καθόλου δεν τους πτοεί και σχεδόν ποτέ δεν σκέφτονται να με συμπεριλάβουν στην κουβέντα τους, μέχρι να τους ρωτήσω ποιο είναι το πρόβλημά τους. Όμως ακόμη και αυτοί οι δύο νεαροί σήμερα μιλούσαν μεταξύ τους ψιθυριστά και έδειχναν να μην έχουν έντονες διαφωνίες.  Ίσα που ακούγονταν. Έφτασαν στο σημείο να κουνάνε μόνο τα χείλη τους. Και ήταν τόσο χαριτωμένοι, επικοινωνώντας κατ' αυτόν τον τρόπο μεταξύ τους. 

Μετά μπήκα στη Γ'. Έκανα την ίδια είσοδο. "Αφού έπιασε την προηγούμενη ώρα, θα πιάσει και τώρα", σκέφτηκα. Αλλά δυο χρόνια διαφορά σε αυτήν την ηλικία είναι μια αβυσσαλέα απόσταση...
'Όχι πως δεν σεβάστηκαν το πρόβλημά μου και την αδυναμία μου να μιλήσω, αλλά δεν προσαρμόστηκαν στα νέα δεδομένα. Ήταν εκρηκτικοί και χειμαρρώδεις όπως συνήθως. Απαιτούσαν να λύσουν την απορία τους. Ρωτούσαν συνεχώς κι εγώ ψιθύριζα και εξηγούσα. Κι όταν κάποιος ξεχνιόταν και ψιθύριζε κι αυτός όταν με ρωτούσε κάτι, τότε οι υπόλοιποι  γελούσαν και τον ρωτούσαν: "εσύ τώρα γιατί ψιθυρίζεις;", οπότε δυνάμωνε αυτομάτως τη φωνή του και συνέχιζε κανονικά. Άλλοι πάλι προλάβαιναν να το σχολιάσουν από μόνοι τους και να αυξήσουν την ένταση της φωνής τους, πριν καλά καλά ολοκληρώσουν ψιθυριστά την πρώτη τους λέξη.

Στο διάλειμμα, μιλώντας (ας το πούμε "μιλώντας") στο γραφείο με συναδέλφους, διαπίστωσα πως όλοι μιλούσαν κανονικά και δεν παρασύρονταν συνομιλώντας μαζί μου, να ψιθυρίσουν ή έστω να χαμηλώσουν τον τόνο της φωνής τους. Με εξαίρεση μία μόνο συνάδελφο, που βιάστηκε όμως να προβεί σε αυτορρύθμιση, σχολιάζοντας περιπαιχτικά τον εαυτό της και να συνεχίσει μεγαλοφώνως αυτό που μου έλεγε.

Έτσι, απουσία φωνής, σήμερα στο σχολείο μου δόθηκε η ευκαιρία να απολαύσω αυτήν τη γνήσια παιδικότητα, που μιμητικά προσαρμόζεται και αναπαράγει τα πρότυπα. 
Κι ύστερα ένιωσα την ευθύνη να βαραίνει πάνω μου, καθώς είδα - για μιαν ακόμη φορά- πόσο μεγάλη επιρροή ασκεί η στάση μας και η συμπεριφορά μας στα μικρά παιδιά!

Σάββατο, 10 Δεκεμβρίου 2016

Η ... (ΣΥΜ)ΠΛΗΡΩΣΗ ΤΗΣ ΜΗ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑΣ!

με τη "θεά των μικρών θριάμβων" της Γ. Γκρανέκ

Τα θεωρήματα της μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ είναι αναμφιβόλως από τα πιο πολυσυζητημένα θεωρήματα στην ιστορία των σύγχρονων Μαθηματικών. Η φαινομενικά εύκολη ερμηνεία του πρώτου θεωρήματος σε συνδυασμό με την ανθρωπίνως πολυπόθητη παντός είδους πληρότητατα του τίτλου, προσδίδουν στο θεώρημα μυστηριακή γοητεία, σε βαθμό που του επιτρέπει να ξεπερνά τους στενούς μαθηματικούς κύκλους, στους οποίους εκ των πραγμάτων περιορίζονται τα των Ανωτέρων Μαθηματικών θεωρήματα. 
Το θεώρημα της μη πληρότητας έχει εμπνεύσει και συνεχίζει να εμπνέει μαθηματικούς, φιλοσόφους, καλλιτέχνες, ποιητές, περισπούδαστους ανθρώπους, καθώς και μέγα πλήθος αδαών,  παντελώς ασχέτων με το χώρο της φιλοσοφίας και των Μαθηματικών.   
Και ο ίδιος ο Κουρτ Γκέντελ, που στα 25 του χρόνια διατύπωσε και απέδειξε τα θεωρήματά του, λόγω της αμφιλεγόμενης προσωπικότητάς του και της περιπετειώδους του ζωής  έχει γίνει θέμα μυθιστορημάτων, θεατρικών έργων και φυσικά πολλών βιβλίων εκλαΐκευσης της επιστήμης, τα περισσότερα από τα οποία έχουμε διαβάσει και συζητήσει σχολαστικά στις Λέσχες Ανάγνωσης της Ομάδας Θαλής+Φίλοι, γιατί σε όλους μας, ειδικούς και μη, δεν παύει να ασκεί απέραντη γοητεία η μυστηριώδης μορφή με την τόσο μεγάλη ιστορία.
Προσωπικά είχα πρωτοδιαβάσει και είχα αναζητήσει σχετικό υλικό εννιά χρόνια πριν, όταν για τις ανάγκες του πενθήμερου εργαστηρίου λεσχών της Ομάδας Θαλής+Φίλοι μου είχε ανατεθεί ο συντονισμός εργαστηρίου με θέμα το βιβλίο του Απόστολου Δοξιάδη, "Από την παράνοια στους αλγορίθμους, η 17η νύχτα και άλλες διαδρομές". 
Είχα ενθουσιαστεί με τον Κουρτ Γκέντελ, με τη ζωή  του, με την προσωπικότητά του, με το θεώρημά του (στο βαθμό που το κατάλαβα... :) ), με την επίδραση του θεωρήματός του στα Μαθηματικά του προηγούμενου αιώνα. Φυσικά μέσα από τα σχετικά με τον Κουρτ Γκέντελ αναγνώσματα διάβηκα όλο το χωροχρονικό ιστορικό πλαίσιο μιας ταραγμένης  και (για μια ακόμη φορά) αιματοκυλισμένης Ευρώπης, που ώθησε ένα πλήθος Ευρωπαίων επιστημόνων να μεταναστεύσουν στις Η.Π.Α., με αποτέλεσμα το Ινστιτούτο Προχωρημένων Μελετών του Πρίνστον να σωρρεύσει  την αφρόκρεμα των εβραιο-γερμανικών μυαλών. 
Ανεξάντλητο το περιβάλλον του θεωρήματος, από κάθε άποψη. Πολύ υλικό (κάποιο από το οποίο υπάρχει εδώ) για συζήτηση σε Λέσχες Ανάγνωσης και όχι μόνο. Θέματα για πολλές διαφορετικές προσεγγίσεις, για κάθε επίπεδο δυσκολίας και για κάθε λογής ενδιαφέροντα.
Ένα από αυτά τα ενδιαφέροντα είναι ο γάμος του Κουρτ Γκέντελ με την κατά εφτά χρόνια μεγαλύτερή του αυστριακή χορεύτρια Αντέλ Νιμπέρσκυ, (Πόρκερτ) η οποία  δεν διέθετε ιδιαίτερη πνευματική καλλιέργεια και απείχε πολύ από το να κατανοεί τις γκεντελίστικες θεωρίες και μεθόδους λογικής.
Ήταν όμως η Αντέλ η γυναίκα που επί πενήντα χρόνια στήριξε με πάθος τον ιδιόρρυθμο σύζυγό της, αφού πρώτα εγκατέλειψε την προσωπική της ζωή για χάρη του και έγινε μια (αντι)ηρωίδα στη δύσκολη καθημερινότητα του Κουρτ Γκέντελ. 
Η  χήρα Αντέλ Γκέντελ, η μέχρι τώρα ελάχιστα συζητημένη στις Λέσχες Ανάγνωσης μας, έρχεται δυναμικά να διεκδικήσει τη θέση που της αναλογεί, ως ηρωίδα, όχι πλέον στη ζωή του αποθανόντα συζύγου της, αλλά στο μυθιστόρημα της Γιανίκ Γκρανέκ "Η θεά των μικρών θριάμβων", που κυκλοφόρησε πέντε μέρες πριν από τις εκδόσεις αλεξάνδρεια σε μετάφραση Τεύκρου Μιχαηλίδη. Η κυρία Γκέντελ έρχεται να αφηγηθεί με τη δική της οπτική -μέσα από τη μυθιστορηματική ματιά της Γκρανέκ- τα επί μισό αιώνα βιώματά της στο πλευρό του μεγάλου (παράλογου;) λογικιστή.

Το 1980 η Άννα Ροθ, μια νεαρή και άσημη αρχειοθέτρια, αναλαμβάνει να εξασφαλίσει για λογαριασμό του Ινστιτούτου Προχωρημένων Μελετών, στο οποίο εργάζεται, το αρχείο του Κουρτ Γκέντελ, το οποίο -μετά τον θάνατό του το 1978- έχει περιέλθει στη σύζυγό του Αντέλ. Η αποστολή της Άννας είναι ιδιαίτερα δύσκολη, επειδή η κυρία Γκέντελ φαίνεται πως παίρνει την όψιμη εκδίκησή της απέναντι στους πνευματικούς ηγέτες του Πρίνστον, οι οποίοι καθόλη τη διάρκεια της ζωής της την απαξίωναν.
Όμως η Άννα καταφέρνει να προσεγγίσει την "περιβόητη μέγαιρα" Αντέλ και να αναπτύξει μια ιδιαίτερη σχέση μαζί της, με αποτέλεσμα η δεύτερη "να αφηγηθεί μια ιστορία που κανείς μέχρι τότε δεν θέλησε να ακούσει. Από τη λαμπερή Βιέννη της δεκαετίας του 1930 στο μεταπολεμικό Πρίνστον, από το Άνσλους* στον Μακαρθισμό κι από το τέλος του θετικιστικού ιδεώδους στην επέλαση των πυρηνικών εξοπλισμών. Η Άννα, εν τέλει, ανακαλύπτει τη διαδρομή μιας γυναίκας η οποία βρέθηκε αντιμέτωπη σ' όλη της τη ζωή με την αδύνατη εξίσωση που συνδέει την ιδιοφυΐα, τον έρωτα και την τρέλα."

Σήμερα το πρωί άρχισα να το διαβάζω.
Δεν έχω φτάσει ούτε στη μέση και προβληματίζομαι ήδη για το ποια από τις σελίδες που έχω επιλέξει θα αντιγράψω εδώ. Δεν μπορώ να διαλέξω τι να πρωτοπώ, και τι να περιγράψω. Γέρνω μάλλον σε εκείνη τη σκηνή από την αφήγηση της Αντέλ, που περιμένει υπομονετικά τον σύζυγό της στην έξοδο του  καφέ Reichsrat, απέναντι από το Πανεπιστήμιο. Έξω από "Το καφέ της μη πληρότητας", όπως ονομάζει το κεφάλαιο η Γκρανέκ...
Ενώ μέσα ο "Κύκλος της Βιέννης" συναθροίζεται για να χτίσει ξανά έναν κόσμο, που η Αντέλ δεν υποπτεύεται καν ότι χρειάζεται αναδόμηση, αυτή περιμένει από έξω, νιώθοντας την υγρασία και την ταπείνωση να τις ποτίζουν το κόκκαλο. Περιμένει τον Κουρτ να φανεί...
Ναι, δεν υπάρχει αμφιβολία, θα την αντιγράψω αυτή τη σκηνή.

Προς το παρόν θα διαβάσω τα υπόλοιπα κεφάλαια του βιβλίου και θα απολαύσω την "πληρότητα" που παρέχει το απόγευμα του Σαββάτου, με ένα φλυτζάνι ζεστό καφέ συντροφιά με ένα μυθιστόρημα περί "μη πληρότητας", που θα τη συμπληρώνει...

--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Τεύκρο, σε ευχαριστούμε  για την ωραία μετάφραση, ακόμη ενός πολύ ωραίου βιβλίου.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
*Με την ονομασία Anschluss (Άνσλουσ) είναι γνωστή η προσάρτηση της Αυστρίας το 1938 στο Γερμανικό Ράιχ (Deutsches Reich), που δημιούργησε στη χώρα το καθεστώς των Εθνικοσοσιαλιστών του Χίτλερ.  (εδώ)


Τετάρτη, 7 Δεκεμβρίου 2016

ΣΧΕΣΕΙΣ ΑΓΑΠΗΣ...

Παίρνει καιρό να βάλει ο καθηγητής τους μαθητές και τις μαθήτριες της Α' Γυμνασίου σε μια σειρά. Να τους βάλει σε τάξη και να τους οργανώσει με κάποιον τρόπο για να πάψουν να ρωτούν κάθε λίγο και λιγάκι "Σε ποιο τετράδιο να τα γράψουμε, κυρία; Στο καθαρό ή στο πρόχειρο;" Και χρειάζεται ιώβεια υπομονή, για να μη χάσει ο διδάσκων την ψυχραιμία του, ώστε να επαναλάβει για χιλιοστή φορά με γλυκιά και τρυφερή φωνή: "Στο πρόχειρο παιδιά. Στο πρόχειρο! Ό,τι γράφετε στην τάξη το γράφετε στο πρόχειρο. Τις ασκήσεις που κάνετε στο σπίτι τις γράφετε στο καθαρό, εντάξει;" Και πάνω  εκεί που θα έλεγε κανείς ότι επιτέλους το κατάλαβαν όλοι και δεν θα το ξαναρωτήσουν ποτέ ξανά, ακούγεται κάποιος σχολαστικός: "Στο πρόχειρο των μαθηματικών ή στο άλλο το πρόχειρο;" 
Έτσι καταλαβαίνω πως ήταν λάθος επιλογή να ζητήσω για το μάθημά μου δυο τετράδια, ένα "καθαρό" για τις ασκήσεις που κάνουν στο σπίτι και ένα "πρόχειρο μαθηματικών" όπου θα γράφουν μόνο ό,τι κάνουμε μαζί στο σχολείο. Δεν είναι λάθος τα δύο τετράδια. Είναι λάθος ο τρόπος που ονομάστηκαν. Το "πρόχειρο των μαθηματικών" συγχέεται με το άλλο το πρόχειρο Από του χρόνου θα τα λέω: Τετράδιο Μαθηματικών σπιτιού και Τετράδιο Μαθηματικών σχολείου, μήπως και αποφύγουμε το μπέρδεμα που κάνει την ερωτήση "σε ποιο τετράδιο, κυρία;" να ακούγεται σαν ηχώ μέχρι και λίγο πριν από τον Δεκέμβρη... :)
Όμως τώρα φτάσαμε στο μήνα Δεκέμβριο και τα πράγματα έχουν μπει σε σειρά. Έχοντας την περσινή εμπειρία από το Γυμνάσιο, φέτος πρόβλεψα τουλάχιστον τι πρέπει να κάνω για να μη ρωτάνε: "Τα γράφουμε αυτά, κυρία;", μια ερώτηση που εννιά στις δέκα φορές προηγείται της "Σε ποιο τετράδιο, κυρία;"
Όπως και να έχει όμως η μακρά περίοδος προσαρμογής των μικρών παιδιών από την "οικογενειακή" ατμόσφαιρα του Δημοτικού στην "ακαδημαϊκή" τυπικότητα του Γυμνασίου είναι μια δύσκολη περίοδος που απαιτεί την αμέριστη συμμετοχή του εκπαιδευτικού και του γονέα. Και αν οι γονείς το βιώνουν αυτό  μια, δυο, τρεις φορές,  οι καθηγητές το ζουν ξανά και ξανά. Κι εγώ πέρυσι βρέθηκα σε Γυμνάσιο για πρώτη φορά. Και εντυπωσιάστηκα με τον αυθορμητισμό των μικρών παιδιών, με τις εκδηλώσεις αγάπης, με τις κάρτες που μου έφτιαχναν, για να εκφράσουν τα συναισθήματά τους, με τον τρόπο που με κοίταζαν μες στα μάτια...Ενθουσιάστηκα με το "Καλημέρα κυρία Καλφοπούλου!!!" που μου έλεγαν πέντε και δέκα φορές τη μέρα, όπου και αν με συναντούσαν! Πόσο διαφορετικά από το Λύκειο, όπου ... μια καλημέρα είναι αυτή, πες την κι ας πέσει χάμω... Τέλος πάντων.
Μέχρι τώρα είχα την αίσθηση πως αυτό που έζησα πέρυσι δεν πρόκειται να το ξαναζήσω. Έλεγα πως έτυχε, πως έπεσα σε αγαπησιάρικα παιδιά, πως το τμήμα είχε πολλά κορίτσια ίσως, πως μάλλον ξέχασα πώς φέρονται τα δωδεκάχρονα παιδιά. Και η αλήθεια είναι ότι στο σχολείο μου φέτος δεν υπήρχαν τέτοιου είδους εκδηλώσεις, ούτε ιδιαίτερες συναισθηματικές εξάρσεις. Οι καλημέρες βέβαια παίρνουν και δίνουν.  Τα χαμογελαστά "γεια σας κυρία Καλφοπούλου", ακούγονται βροντερά από την άλλη άκρη της (πολύ πολύ μεγάλης) αυλής του σχολείου μας, αλλά  τα "Σ' αγαπώ", τα "LOVE MATHS"  και οι καρδούλες στον πίνακα δεν έκαναν την εμφάνισή τους όπως στον περσινό πίνακα.
Μια καρδιά από τον περσινό πίνακα...
Έλα όμως που όταν ο δάσκαλος καλομάθει σε εκδηλώσεις συμπάθειας και αγάπης τις αποζητά... Είδα και απόειδα φέτος. Πολύ καλά τα παιδιά, δεν λέω. Έστρωσαν. Άρχισαν σιγά σιγά να ενθουσιάζονται με το μάθημα. Άρχισαν κάποια να λένε: "Μαθηματικά, το καλύτερο μας!", αλλά μόνο στα λόγια... Γραπτή απόδειξη καμιά. Ούτε μια καρδιά...
Πριν λίγο καιρό, καθώς εξηγούσα μια δύσκολη έννοια, έγραψα ένα παράδειγμα στον πίνακα και αντί να το υπογραμμίσω ή να το κυκλώσω, όπως κάνω συνήθως για να δώσω έμφαση, το έβαλα μέσα σε μια καρδιά! "Καρδιά, κυρία!!!" Παραξενεύτηκαν κάποια παιδιά! "Ναι, παιδιά! Καρδιά!", υπερασπίστηκα την επιλογή μου. Και έκτοτε την επανέλαβα και την είδα να πολλαπλασιάζεται στα τετράδια των παιδιών, να πλαισιώνει έννοιες και παραδείγματα. Γεμίσαμε τον τόπο καρδούλες! Και θα συνεχίσουμε μέχρι να γεμίσουμε και την καρδιά μας με αγάπη για τη γνώση και για τα Μαθηματικά, επειδή και τα Μαθηματικά ξεκινούν απ' την καρδιά.

Σήμερα, στην επανάληψη της Γεωμετρίας, ο πίνακας γέμισε καρδιές! Οι γωνίες έγιναν ζεύγη κι αγαπήθηκαν, οι μοίρες τους μετρήθηκαν και οι ασκήσεις λύθηκαν!

Και, πριν χτυπήσει το κουδούνι, νέες σχέσεις αγάπης αναπτύχθηκαν...  <3


--------------------------------------------------------------------------------------------
Επανέρχομαι στην ανάρτηση, τρεις μέρες μετά, για να συμπληρώσω με μια φωτογραφία από τον πίνακα ενός άλλου σχολείου, από την Αθήνα.
Μια φωτογραφία που μου έστειλε η αγαπημένη φίλη και πολύ καλή συνάδελφος Άννα,  την επομένη της ανάρτησης... αλλά μόλις προ ολίγου την είδα και χάρηκα διπλά, επειδή όπως φαίνεται οι σχεσεις αγάπης φτερουγίζουν πέρα  από την πόρτα της σχολικής τάξης και ταξιδεύουν μακριά!
Σε ευχαριστώ πολύ Άννα για την τόσο όμορφη φωτογραφία!

Πέμπτη, 1 Δεκεμβρίου 2016

ΑΓΩΓΗ ΑΝΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ...

  Καθώς οι μέρες περνούν και ο χειμώνας προχωράει βαρύς και παγερός η σχολική καθημερινότητα αποκτά, φαινομενικά τουλάχιστον, τις κανονικότητές της, δηλαδή εκείνα τα μοτίβα που την καθιστούν επαναλαμβανόμενη και κατά συνέπεια προβλέψιμη, αλλά όχι κατ' ανάγκη διαχειρίσιμη. Από το σύνολο της πολύπλοκης σχολικής ζωής όμως θα περιοριστώ στα όσα συμβαίνουν εντός των τειχών της σχολικής τάξης, εκεί όπου καθημερινά με τους μαθητές μου, τουλάχιστον με όσους εμπλέκονται στο μάθημα -και ευτυχώς για μένα είναι σχεδόν όλοι τους- παλεύουμε με ... τα σημεία και τα τέρατα της Άλγεβρας. Με τους παράγοντες και τους όρους και γενικά με τις μαθηματικές έννοιες, που ένας θεός οίδε πού θα φανούν χρήσιμες! Και καθόλου δεν αστειεύομαι λέγοντάς το αυτό. Σοβαρολογώ. 
Διδάσκω σε δύο τμήματα της Γ' Γυμνασίου, με πολύ χαμηλό μέσο όρο και μεγάλο εύρος επίδοσης. Όσα τα εικοσάρια, τόσα και τα μηδενικά στο ωριαίο διαγώνισμα του τετραμήνου σε θέματα μέσης δυσκολίας και μετά από επανάληψη όπου λύθηκαν αναλυτικά και με πολλές υπογραμμίσεις πανομοιότυπες ασκήσεις... Ο λόγος που το έκανα αυτό ήταν πως ήθελα να τους παράσχω ψυχολογική υποστήριξη και να γράψουν σχεδόν όλοι έναν αξιοπρεπή διψήφιο βαθμό! Δυστυχώς το αποτέλεσμα ήταν πολλοί από τους μέσους μαθητές να γράψουν άριστα και σχεδόν όλοι οι χαμηλότερης επίδοσης να πάρουν περίπου μηδέν. (Δικόρυφη κατανομή με δύο επικρατούσες τιμές, το 3 και το 19!).
Τίθεται τώρα το τετριμμένο ερώτημα:
Τι κάνει ο δάσκαλος σε μια τέτοια περίπτωση; Αφήνει τους μισούς στο έλεος του θεού και συνεχίζει (ανεβάζοντας το επίπεδο) με τους άλλους μισούς; 
Πώς διαχειρίζεται κανείς τη μεγάλη ανομοιογένεια των τμημάτων; 
Στα Αγγλικά χωρίζουν τους μαθητές σε επίπεδα. Στα Μαθηματικά all together... 
Όμως αυτό δεν είναι κατ' ανάγκη κακό. Είναι σίγουρα περιοριστικό για τους "καλούς" μαθητές, αλλά όχι κακό. Ειδικά όταν το μάθημα γίνεται με συζήτηση μεταξύ των μαθητών, οπότε αναδύονται όλα τα υφέρποντα, πλην πασίγνωστα, προβλήματα, όπως η παντελής αδυναμία κατανόησης των αλγεβρικών συμβόλων, η τυφλή τους διαχείριση, η άκριτη "αναπαραγωγή" διαδικασιών σε περιπτώσεις, στις οποίες είναι ανεφάρμοστες και άλλα τέτοια, τα οποία  έχουν όλα κοινή βάση: τη δυσλειτουργία της γλώσσας γενικά και την ένδεια της αλγεβρικής γλώσσας ειδικότερα. 
Προς επίρρωση του ισχυρισμού μου, θα αναφέρω μερικά σχετικά παραδείγματα. Δικά μου  αλλά και ένα παράδειγμα συναδέλφου, το οποίο αναρτήθηκε σε ομάδα μαθηματικών σε κοινωνικό δίκτυο, με σκοπό να συμβάλει στη συζήτηση που διατηρούμε ανοιχτή όσοι διδάσκουμε Μαθηματικά και ενδιαφερόμαστε για τα αποτελέσματα της διδασκαλίας μας.
Τον καιρό αυτό, όπως και οι περισσότεροι συνάδελφοι στη Γ' Γυμνασίου, διδάσκω την παραγοντοποίηση, δηλαδή "τη διαδικασία μετατροπής ενός αλγεβρικού αθροίσματος σε γινόμενο πρώτων παραγόντων". Προφανώς για να καταλάβει κανείς τι σημαίνει όλο αυτό απαιτείται να γνωρίζει τουλάχιστον τι σημαίνει "άθροισμα", τι "γινόμενο" και τι οι άλλες έννοιες που συνδέονται με αυτές τις λέξεις. Οι "όροι" του αθροίσματος δηλαδή και οι "παράγοντες" του γινομένου. Σχετικά εύκολες λέξεις, που  τα παιδιά διδάσκονται ήδη από το Δημοτικό και τις ακούν κάθε χρόνο σε κάθε μάθημα Άλγεβρας, άρα θεωρητικά τις γνωρίζουν όλοι οι μαθητές. Θεωρητικά! Και μόνο θεωρητικά, όμως. Τι εμποδίζει τους μαθητές μας να μάθουν μερικές τόσο απλές λέξεις; Δεν γνωρίζω! Υποθέτω μόνο... Άλλωστε το θέμα πρέπει να απασχολήσει τους ειδικούς και πρέπει να διερευνηθεί.
Αυτό που γνωρίζω εγώ είναι ότι η άγνοια τέτοιων απλών, λειτουργικών και επαναλαμβανόμενων λέξεων εμποδίζει τους μαθητές να εφαρμόσουν στοιχειώδεις(;)  αλγοριθμικές διαδικασίες, όπως η εφαρμογή των ταυτοτήτων και η παραγοντοποίηση. 
Σε ένα από τα τελευταία μαθήματα, όπου κάναμε ασκήσεις παραγοντοποίησης έχοντας ολοκληρώσει τη θεωρία, ζήτησα να παραγοντοποιήσουν την παράσταση:  x^3-2x^2+x-2.


Σηκώθηκαν πολλά χέρια, για να πουν τι θα κάνουμε. Έδωσα το λόγο στη Σ. η οποία  ήταν πολύ χαρούμενη, επειδή είχε καταλάβει πώς παραγοντοποιούνται αυτές οι παραστάσεις και τότε εγώ, που ήμουν επίσης πολύ χαρούμενη με τη χαρά της, την άκουσα να λέει "Επειδή υπάρχουν ... όμοιοι όροι θα τους πάρουμε δύο δύο". Αυτό το "όμοιοι όροι" το ένιωσα  να περιστρέφεται βαρύ στον αέρα και να πέφτει σαν χαστούκι στο μάγουλό μου! Σλάααατσ! Με έτσουξε! "Όμοιοι όροι;!", ρώτησα με φωνή που ίσα που ακούστηκε. "Ναι!", είπε όλο ενθουσιασμό η μαθήτρια. "Ε, άμα υπάρχουν όμοιοι όροι, τότε γιατί δεν κάνουμε  αναγωγή όμοιων όρων...", είπα μονολογώντας για να προκαλέσω αντιδράσεις.  Καμία αντίδραση δεν προκάλεσα στο σύνολο της τάξης. Αναγκάστηκα για εκατομμυριοστή φορά να πω τη διαφορά ανάμεσα στο "όμοιοι όροι" και "κοινός παράγοντας", μένοντας με την αίσθηση πως δεν τους αγγίζει και πολύ το θέμα. Όλοι βιάζονταν να τελειώσουν την άσκηση.
Τέλος πάντων, κάναμε κι άλλες ασκήσεις. 
Αλλά εμένα μου είχε σταθεί πολύ στραβά αυτό το "τι όμοιοι όροι, τι κοινός παράγοντας...", οπότε κάποια στιγμή ενώ συζητούσαμε την 12x^2-8xy-15x+10y και είχαμε κάνει τη μερική ενδιάμεση παραγοντοποίηση, επειδή κάποιος από κάτω είπε πάλι: "υπάρχουν όμοιοι όροι, οι παρενθέσεις (3x-2y)", σταμάτησα απότομα την άσκηση στη μέση. "Περιμένετε!", είπα, σχεδόν αγριεμένη. "Για κάντε λίγο αυτό: 3α-β+6α-2β". Και τα παιδιά το έκαναν.
Εγώ γύριζα πάνω κάτω στην τάξη και έβλεπα τα τετράδια. Με ελάχιστες εξαιρέσεις, όπου έκαναν κανονικά την αναγωγή των όμοιων όρων, οι περισσότεροι μαθητές έκαναν  κάποιες κινήσεις/αλλαγές και έδωσαν ως τελική απάντηση ένα αμφιλεγόμενο αποτέλεσμα με εμφανή τα ίχνη της ... παραγοντοποίησης ! Υπήρχαν και μια δυο σωστές απαντήσεις, όπου η αναγωγή των όμοιων όρων είχε γίνει με την "ανάποδη επιμεριστική", όπως ακριβώς στην Α' Γυμνασίου και όχι με τον άμεσο τρόπο που συνήθως εφαρμόζουν τα μεγάλα παιδιά της Γ' ή όσα από αυτά μπορούν, τέλος πάντων!




Όταν εξήγησα στη συνέχεια πόσο είχαν παραπλανηθεί και πόσο άκριτα λειτούργησαν, μια μαθήτρια χτύπησε το κεφάλι της στο θρανίο σε ένδειξη δυσαρέσκειας για τον τρόπο που είχε εφαρμόσει! Η μαθήτρια αυτή ήταν ένα από τα εικοσάρια του ωριαίου!

Δυστυχώς αυτά τα φαινόμενα είναι είναι πολύ συχνά. Είναι επαναλαμβανόμενα και τείνουν αυξανόμενα όχι μόνο στη δική μου σχολική  τάξη.  Παντού! Όπως φαίνεται και στις φωτογραφίες 1 και 2.  Τις έχει αναρτήσει ένας άλλος προβληματισμένος με το ζήτημα συνάδελφος στη σελίδα της διαδικτυακής ομάδας "Εφαρμοσμένη Διδακτική Μαθηματικών". Ο συνάδελφος   διδάσκει (νομίζω) σε φροντιστήριο και όχι σε Δημόσιο σχολείο. 

ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ 1
ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΑ 2

Θεωρώ ότι το υπόβαθρο του λάθους, που έχει κάνει το παιδί που έλυσε τις ασκήσεις στις παραπάνω φωτογραφίες, διόλου δεν διαφέρει από το λάθος που έκαναν τα δικά μου παιδιά , όταν υπολόγισαν το άθροισμα "3α-β+6α-2β", κάνοντας τρόπον τινά παραγοντοποίηση. Και στις δύο περιπτώσεις το λάθος προκύπτει από την εφαρμογή μιας μεθόδου ενός άλλου παραδείγματος, είναι δηλαδή ένα λάθος "αναλογικότητας",  με τη διαφορά ότι οι λάθος απαντήσεις των μαθητών μου δεν ήταν τόσο ... ανατριχιαστικά λάθος όσο το -8=x=4, στο οποίο κατέληξε ο μαθητής του συναδέλφου.
Δεν πρέπει να κρίνουμε εκ του αποτελέσματος όμως.
Θα πρέπει να διερευνούμε τον τρόπο που σκέφτεται ή που δεν σκέφτεται ο μαθητής, καθώς εκεί, στον τρόπο σκέψης και στη "γλώσσα" που χρησιμοποιεί σκεπτόμενος, ελλοχεύει η βάση του προβλήματος, ενός αξεπέραστου προβλήματος για το μεγάλο όγκο των μαθητών, των οποίων καλούμαστε να αναλάβουμε τη ... μαθηματική αγωγή. Ενός προβλήματος που είναι ο μόνιμος πονοκέφαλος των εκπαιδευτικών...

-------------------------------------------------------------------------------------------
Ως μια μικρή παρηγοριά θα αναφέρω ένα παρόμοιο λάθος "αναλογικότητας" που είχε κάνει μια μαθήτριά μου μερικά χρόνια πριν, στην Α' Λυκείου. Ήταν το μοναδικό εικοσάρι που είχα βάλει (σε Άλγεβρα και σε Γεωμετρία) στο 1ο τετράμηνο. Μια μέρα μετά την παράδοση της βαθμολογίας του τετραμήνου, η μαθήτρια σηκώθηκε στον πίνακα και έλυσε μια εξίσωση. Η λύση με είχε αφήσει άναυδη! 

(Ολόκληρη η σχετική ανάρτηση υπάρχει εδώ )
Θα αναρωτηθεί κανείς πού βρίσκεται η παρηγοριά... :)
Η παρηγοριά βρίσκεται στο ότι η  μαθήτρια της οποίας η λύση φαίνεται στον παραπάνω πίνακα είναι σήμερα τριτοετής στην Ιατρική και απέχει πολύ από εκείνη την εποχή που μελετούσε την Άλγεβρα τη σχολική, πιθανότατα χωρίς να πολυκαταλαβαίνει τι κάνει και γιατί.
Μελετούσε συστηματικά τούτο το άνευ νοήματος παιχνίδι  συμβόλων, που επιβάλλεται για την αγωγή όλων ανεξαιρέτως των παιδιών και των ... ανόμοιων όρων.