Δευτέρα, 18 Δεκεμβρίου 2017

Περί δημόσιας συζήτησης...

Διαβάζω τον τελευταίο καιρό το βιβλίο του Φρανσουά Ζυλλιέν (François Jullien) "ΕΓΚΩΜΙΟ ΤΗΣ ΑΠΡΑΞΙΑΣ η αποτελεσματικότητα στην κινεζική σκέψη",  που (πρωτο)εκδόθηκε από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης το Νοέμβριο του 2012 και έφτασε στην 4η ανατύπωσή τον Ιανουάριο του τρέχοντος έτους. Καθώς το διαβάζω -και φτάνω πλέον στο τέλος-  αναρρωτιέμαι πώς και δεν είχε πέσει στα χέρια μου νωρίτερα! Είμαι σίγουρη πως αν το είχα διαβάσει τουλάχιστον δύο χρόνια πριν, θα είχα καταφέρει να απαντήσω σε αυτούς που απογοητευμένοι όντες από την Κυβέρνηση, επειδή  δεν κάνει αυτά που είχε υποσχεθεί, καταφέρονται εναντίον της ίδιας τους της αρχικής επιλογής, να ψηφίσουν δηλαδή αυτό που ψήφισαν... 
Θα επανέλθω στο θέμα με ένα απόσπασμα από το βιβλίο, αλλά πρώτα θέλω να κάνω μια αναφορά σε αυτό που ο Ζυλλιέν αποκαλεί "προτυπολογική σκέψη" και εξηγεί πώς η σκέψη αυτή καθορίζει και διαμορφώνει ολόκληρη την Ευρωπαϊκή ιδιοσυγκρασία, η οποία, βεβαίως, εκπήγασε από την αρχαία Ελληνική Φιλοσοφία.
Η "προτυπολογική σκέψη", η σκέψη δηλαδή η οποία στοχεύει σε ένα συγκεκριμένο σκοπό (πρότυπο) και τον οποίον συστηματικά επιδιώκει με την επιλογή των κατάλληλων μέσων, δεν είναι τίποτε άλλο από αυτό που κάνουμε και στο σχολείο μας, τηρουμένων των αναλογιών, είτε ως απλοί διδάσκοντες, ως μαχόμενοι εκπαιδευτικοί, είτε ως ΚΕΕ (Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων) είτε ως ΟΟΣΑ (Οργανισμός Οικονομικής Συνεργασίας και Ανάπτυξης).  
Το βιβλίο του Ζυλλιέν, που δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια ομιλία του σε διευθυντικά στελέχη επιχειρήσεων, πίστευα πως δεν θα είχε να μου δώσει κάτι σχετικό με την τάξη και με το σχολείο γενικότερα, όπως εγώ - η προοδευτική δασκάλα - τα οραματίζομαι. Έπεσα έξω. Έχω συλλέξει αρκετά σημεία, τα οποία σκοπεύω στο μέλλον να επεξεργαστώ είτε πειραματικά στη διδασκαλία είτε θεωρητικά, για να στηρίξω τυχόν προϊόντα αναστοχασμού  πρακτικών και  μεθόδων που έχω κατά καιρούς ακολουθήσει.
Αποτέλεσμα εικόνας για φρανσουά ζυλλιένΕπιστρέφω όμως στο συγκεκριμένο απόσπασμα, τέσσερις μόλις σελίδες πριν από το τέλος του βιβλίου,  το οποίο με ώθησε να γράψω δυο λόγια για ένα σύγγραμμα, που το είδος του δεν φιλοξενείται συνήθως σ΄αυτό το ιστολόγιο.

Γράφει ο Ζυλλιέν στη σελίδα 115:

"[...] Γιατί, όπως πολύ καλά γνωρίζουμε, ο λόγος που στην πολιτική, ιδίως στη Γαλλία, προβαίνουμε σε σχηματοποιήσεις και στη διαμόρφωση ιδεατών προτύπων, όχι μόνο σε αναφορά με τα συντάγματα, αλλά ακόμα και στα προεκλογικά προγράμματα των πολιτικών κομμάτων (γιατί και τα προεκλογικά προγράμματα δεν είναι τίποτε άλλο παρά βραχυπρόθεσμες ή μεσοπρόθεσμες ιδεατές προβολές), δεν είναι ενόψει του περιγραφόμενου μελλοντικού αποτελέσματος: ο λόγος που τα κόμματα συντάσσουν τα προγράμματά τους, όπως "πολύ καλά γνωρίζουμε" δεν είναι για να τα εφαρμόσουν. Διότι κατόπιν θα έλθουν οι "περιστάσεις"... Αυτό το ξέρει όλος ο κόσμος, κανείς δεν είναι τόσο ανόητος... Σε τι λοιπόν χρησιμεύει η διαμόρφωση ιδεατών προτύπων στην πολιτική; Διαμορφώνουμε πρότυπα, όχι για να τα εφαρμόσουμε, αλλά για να συνομιλήσουμε και να συνεννοηθούμε, για να παράξουμε δημοκρατία. Τα προεκλογικά προγράμματα δεν συντάσσονται για να υλοποιηθούν, αλλά για να αντιπαρατεθούμε. Με λίγα λόγια, χρησιμεύουν για να οργανωθεί μια δημόσια συζήτηση."

Κι εγώ, ως μια απλή δασκάλα των Μαθηματικών, αναρρωτιέμαι:
Γιατί, τάχα, δεν αποδεχόμαστε όλοι μας αξιωματικά αυτό που μας λέει ξεκάθαρα ο Ζυλλιέν σχετικά με τον ρόλο και τη λειτουργία των προεκλογικών προγραμμάτων;
Ένα τέτοιο πολιτικό αξίωμα, θεωρώ, θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο και βολικό. Και, υπό μία έννοια θα  μας επανέφερε στην τάξη, επειδή θα μας υποβίβαζε -επί τέλους- στη χοϊκή μας διάσταση, από την οποία θεωρώ ότι έχουμε προ πολλού ξεφύγει.
Πώς αλλιώς να εξηγήσω ότι όταν εγώ ο (άγνωστος) X, εσύ ο Y ή ο πολιτικός Z, σχεδιάζοντας  το αύριο (το εγγύς ή το απώτερο), θεωρούμε πως είμαστε ικανοί (σαν μικροί ή  μεγάλοι θεοί) να προβλέψουμε τα πάντα, να λάβουμε υπόψη όλες τις "περιστάσεις", να (προ)αξιολογήσουμε τις (μελλοντικές) συνθήκες και να δράσουμε όχι στο εδώ, αλλά στο εκεί, ένα "εκεί" που συντελείται μέσα στις ασύλληπτα δυναμικές καταστάσεις; 
Για τούτο τον λόγο συμφωνώ, στο σημείο αυτό, με τον Φρανσουά Ζυλλιέν.
Τα προεκλογικά προγράμματα των κομμάτων ένα βασικό σκοπό εξυπηρετούν: την οργάνωση της δημόσιας συζήτησης, μέσα από την οποία μπορεί (θεωρητικά μιλώντας) να επιτευχθεί η Δημοκρατία.
Με την ίδια ακριβώς λογική και τα σχέδια μαθήματος, που ετοιμάζουμε εμείς οι δάσκαλοι για την τάξη μας, ένα βασικό σκοπό εξυπηρετούν: την οργάνωση της "συζήτησης" μέσα από την οποία μπορεί να επιτευχθεί η μάθηση, με την ευρύτερή της σημασία.

Σάββατο, 9 Δεκεμβρίου 2017

Συζητώντας με τη Βάλια για τον Πυθαγόρα!

Σήμερα, μετά από πάρα πολύ καιρό, είχα την ευκαιρία να κάνω μια μεγάλη βόλτα στο κέντρο της πόλης και να περάσω από τα βιβλιοπωλεία. Παλιότερα τα πρωινά του Σαββάτου ήταν αφιερωμένα αποκλειστικά σε αυτήν τη δραστηριότητα. Παλιότερα όμως ήταν αλλιώς. Υπήρχαν τα "μικρά" βιβλιοπωλεία του κέντρου, όπου εργάζονταν άνθρωποι που γνωρίζαμε το μικρό τους όνομα, όπως και αυτοί γνώριζαν το δικό μας. Γνώριζαν εμάς, αλλά και τα ενδιαφέροντά μας, τις αναγνώσεις μας και τις αναγνωστικές μας ανησυχίες. Συχνά, μόλις δρασκελίζαμε την πόρτα του βιβλιοπωλείου, μας προλάβαιναν. Κουβαλώντας δυο τρεις καινούριους τίτλους, μαζί με το εγκάρδιο καλωσόρισμα, μας ενημέρωναν για τις νέες εκδόσεις. "Αυτό το έχεις δει;", ρωτούσαν και, ενώ εμείς ξεφυλλίζαμε τα βιβλία που ανέδιδαν ακόμη τη μυρωδιά του φρεσκοκομμένου ξύλου, ξεκινούσε η κουβέντα, που συνήθως συνοδευόταν με μια κούπα ζεστού καφέ. Ήταν σήμα κατατεθέν η καφετέρια. Σε κεντρική θέση, πάντα γεμάτη και αχνιστή ερέθιζε τα ρουθούνιά μας, όπως και οι πολύχρωμες στριμωγμένες ράχες των καινούριων βιβλίων στα ράφια ερέθιζαν τη φαντασία μας. Στα πατάρια και στα υπόγεια τέτοιων βιβλιοπωλείων έχω περάσει πολλά χειμωνιάτικα πρωινά Σαββάτου. Όμως εκείνες οι όμορφες και ξέγνοιαστες εποχές χάθηκαν, όπως χάθηκαν τα "μικρά" βιβλιοπωλεία του κέντρου με τη ζεστή τους ατμόσφαιρα και τη διαπροσωπική επικοινωνία... Στη θέση τους τα πολυκαταστήματα, οι μεγάλες αλυσίδες και οι νεαροί -συνήθως- υπάλληλοι με το καρτελάκι που γράφει το όνομά τους και που σχεδόν ποτέ δεν χρειάζεται να διαβάσουμε. Άλλωστε ο χρόνος που συνδιαλεγόμαστε είναι ελάχιστος. "Μπορώ να βοηθήσω;". "Ναι, παρακαλώ. Θα ήθελα το...". "Από δω. Αν θέλετε κάτι άλλο, μου λέτε.". Τι νόημα έχει να γνωρίζεις το όνομα του συνομιλητή σε μια τέτοια στιχομυθία; Δεν πα να τον λένε Χαράλαμπο ή Γιάννη ή Μαρία; Τέλος πάντων... Ας είναι.
Η σημερινή βόλτα, όμως, ήταν ξεχωριστή και είχε κάτι από το άρωμα και την ομορφιά εκείνης της περασμένης εποχής, επειδή την έκανα με τη φίλη μου τη Βάλια. Η Βάλια είναι νέα, είναι φιλόλογος, είναι ενθουσιώδης και αγαπάει πολύ τα Μαθηματικά. Είναι από τις πλέον ένθερμες αναγνώστριες του ιστολογίου μου. Διαβάζει διεξοδικά όλες τις αναρτήσεις, ακόμη και αυτές που ξεφεύγουν κάπως στα Μαθηματικά και περιγράφουν λεπτομέρειες μη οικείες σε μη μαθηματικούς. Η Βάλια τα διαβάζει όλα. Δεν αφήνει τίποτα. Συχνά, μάλιστα, παίρνει μολύβι και χαρτί, για να λύσει τις ασκήσεις που παραθέτω στα κείμενά μου. "Αν δεν τις λύσω μόνη μου, πώς θα τις καταλάβω;", μου λέει κάθε φορά που της εκράζω τον θαυμασμό μου, για την επιμονή της. Άλλοτε, πάλι, προστρέχει στα σχολικά βιβλία για να θυμηθεί κάποιες από καιρό ξεχασμένες έννοιες, όπως για παράδειγμα τα διανύσματα. Μακάρι να έκαναν το ίδιο και οι μαθητές μας. Να άνοιγαν δηλαδή τα βιβλία προηγούμενων τάξεων, όποτε διαπίστωναν ότι δεν θυμούνται κάτι...
Η Βάλια, που μένει  σε άλλη πόλη, ήρθε στη Θεσσαλονίκη για Σαββατοκύριακο. Κανονίσαμε να βρεθούμε, για να τα πούμε. Και βρεθήκαμε. Επί δύο ώρες μπαίναμε και βγαίναμε στα βιβλιοπωλεία του κέντρου. Καθοδόν ανοίγαμε μια συζήτηση και πριν την ολοκληρώσουμε μπαίναμε σε ένα βιβλιοπωλείο και εκεί ανοίγαμε βιβλία, χανόμασταν η καθεμια στις δικές της αναζητήσεις, ξαναβρισκόμασταν. Σχολιάζαμε, σκαρφαλώναμε στα ράφια. Μου κατέβαζε όσα εγώ δεν έφτανα. Δείχναμε η μια στην άλλη ποια βιβλία διάβασε και ποια θέλει να διαβάσει. Όλα! Όλα τα θέλαμε! 
"Γιατί κρατάει τόσο λίγο η ζωή μας, όταν υπάρχουν τόσα πολλά βιβλία που θέλουμε να διαβάσουμε;". "Γιατί να ζούμε μόνο μια ζωή;".  "Τι να χωρέσει μια ζωή μόνο;"
Μας έπιασε μια κάπως ελαφρά απελπισία. Τότε αποφασίσαμε να πάμε κάπου για καφέ, να συζητήσουμε τα θέματα που είχαμε καθοδόν ανοίξει... Να πούμε, τέλος πάντων, αυτά που λένε δυο φίλες, όταν βρίσκονται για να τα πούνε. 
Πριν ακόμη έρθουν τα ροφήματα που παραγγείλαμε μου λέει η Βάλια "Με αφορμή την ανάρτησή σου στις 6-12, να σου πω. Το δεύτερο μέρος δεν το κατάλαβα... Το πρώτο το κατάλαβα. Τα σημεία Κ, Λ, εντάξει. Είδα που έλεγε ευθεία. Στην αρχή δεν το είχα δει και δεν μου' βγαινε, αλλά μετά το ξαναδιάβασα. Το δεύτερο μέρος όμως δεν το κατάλαβα...". (Για το σχετικό κείμενο βλέπε εδώ)

Απόρησα. Το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος; Ποιος δεν το κατάλαβε; Η φίλη μου η Βάλια; Η Βάλια, η οποία -διαβάζοντας το βιβλίο μου, "Ο Γιάννης που αγάπησα" - λύνει μόνη της, με μολύβι και χαρτί τις ασκήσεις της Γεωμετρίας που συναντάει; Περίεργο.












"Το Πυθαρόγειο θεώρημα μας λέει...". Δεν πρόλαβα να τελειώσω τη φράση μου."Μας λέει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών",  είπε. "Ωραία. Ένα θεώρημα έχει την υπόθεση, το δεδομένο του δηλαδή, έχει και το συμπέρασμα. Στο αντίστροφο...", πάλι δεν πρόλαβα να τελειώσω τη φράση μου. Φωτίστηκε το πρόσωπό της! "Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο!", είπε με ένα πλατύ χαμόγελο, που όμως δεν στάθηκε αρκετό να νεύσω καταφατικά και να το προσπεράσω. 
"Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς (όχι της υποτείνουσαςισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία αυτήν που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.", είπα, καθώς η μαθηματική επαγγελματική μου ... διαστροφή -ακόμη και σε μια τέτοια χαλαρή συζήτηση, με μια αγαπημένη φίλη μη μαθηματικό και δη φιλόλογο- απαιτεί την ακριβή διατύπωση... 
Είπαμε με τη Βάλια κι άλλα για τον Πυθαγόρα, για το θεώρημά του, το ευθύ και το αντίστροφο, αλλά κυρίως είπαμε, δηλαδή εγώ ήμουν που, με αφορμή τη δυσκολία της να κατανοήσει το δεύτερο μέρος της τελευταίας μου ανάρτησης, είπα ότι εμείς -οι δάσκαλοι των Μαθηματικών- έχουμε μεγάλη δυσκολία στο να κατανοούμε ποιο σημείο ακριβώς είναι αυτό που δυσκολεύει τους μη μαθηματικούς να κατανοήσουν κάτι που λέμε. 
 Γι' αυτό - και όχι μόνο - είναι πολύτιμοι οι φίλοι σαν τη Βάλια, που καίτοι μη  μαθηματικοί αγαπούν τα Μαθηματικά, κοπίαζουν να τα καταλάβουν και συζητούν μαζί μας ό,τι απορίες τους προκύπτουν σχετικά. Μας βοηθάνε έτσι να φτάσουμε στον πυρήνα της δυσκολίας, αυτής της δυσκολίας που συνήθως οι μαθητές μας δεν είναι σε θέση να διατυπώσουν και να εξωτερικεύσουν ρητά, οπότε μας δίνουν εσφαλμένα την  εντύπωση πως τα κατάλαβαν καλά. 
Τελικά, Βάλια, πιστεύω πως πρέπει να έρχεσαι στη Θεσσαλονίκη πιο συχνά. :)
Να είσαι πάντα καλά και να μου δίνεις - όπως σήμερα - χαρά!

Τετάρτη, 6 Δεκεμβρίου 2017

(απο)Δομώντας και "διερευνώντας" το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Φέτος διδάσκω στην Α' και στη Β' Γυμνασίου. Στην Α' δίδαξα και τα δύο προηγούμενα χρόνια σε αρκετά τμήματα, ενώ στην Β' είχα ένα μόνο τμήμα πρόπερσι. Παρόλο που έχω πλέον μια (έστω και μικρή) εμπειρία στο Γυμνάσιο, συχνά βρίσκομαι μπροστά σε ερωτήματα που έχουν να κάνουν με τον τρόπο διδασκαλίας μιας καινούριας έννοιας, ενός θεωρήματος ή μιας διαδικασίας. Θα μου πει κάποιος - και ενδεχομένως να έχει δίκαιο - γιατί δεν μελετώ προσεκτικά τις οδηγίες διδασκαλίας και γιατί δεν τις εφαρμόζω κατά γράμμα ή έστω στο βαθμό που μου το επιτρέπουν οι συνθήκες, ώστε να ξεπεράσω τις τυχόν απορίες, δυσκολίες ή ό,τι άλλο προκύπτει κατά την πορεία της διδασκαλίας. Και τότε εγώ - που έχω έτοιμη την απάντηση - θα του πω: επειδή οι οδηγίες διδασκαλίας θεωρούν a priori  δεδομένη την αποτελεσματική επικοινωνία του εκπαιδευτικού με τα παιδιά, καθώς και την επικοινωνία των παιδιών με τα κείμενα, τα γραπτά και τα προφορικά, μέσω των οποίων γίνεται η προσέγγιση της νέας γνώσης. Η επικοινωνία αυτή όμως ούτε αυτονόητη είναι ούτε πάντα εφικτή, επειδή δεν μιλάμε όλοι την ίδια γλώσσα. Μπορεί το θέμα της γλώσσας να το θίγω συχνά, είτε διδάσκω σε Λύκειο είτε σε Γυμνάσιο, αλλά το ζητούμενο είναι να ξεπεραστεί το επικοινωνιακό πρόβλημα που υπάρχει στις τάξεις των σχολείων μας και όχι να παρουσιάζω σε τούτο το ιστολόγιο ... πρωτότυπα θέματα! 
Για τον λόγο αυτό, επειδή δηλαδή διαπιστώνω πως τα επικοινωνιακά μας θέματα  στο μάθημα όχι μόνο δεν ξεπερνιούνται, αλλά δείχνουν να αυξάνονται, κάθε χρόνο ολοένα και περισσότερο επιχειρώ - ειδικά τώρα που διδάσκω σε μικρά παιδιά - να βάλω κάποιες βάσεις στα Μαθηματικά, που δομούνται πάνω σε γλωσσικές / φιλολογικές αναλύσεις, με όλες τις επιφυλάξεις που πρέπει να έχει ο μη ειδικός - όπως εγώ - όταν επεκτείνεται σε ... ξένα χωράφια.  Τώρα μπαίνει πάλι το θέμα ποια χωράφια είναι ξένα και ποια οικεία; Πού μπαίνουν τα όρια και πόσο αδιαπέραστα ή απαράβατα είναι τα όρια αυτά; 
Προτιμώ να αφήσω το ερώτημα ανοιχτό και αντί οποιασδήποτε απάντησης να παραθέσω δύο περιστατικά από την σχολική τάξη.

Στην Α' Γυμνασίου έδωσα για εργασία στο σπίτι, μεταξύ άλλων,  την άσκηση:
Δίνεται ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=4,5 cm. Πάνω στην ευθεία ΑΒ πάρε ένα σημείο Κ, τέτοιο ώστε ΑΚ=3 cm και ένα άλλο σημείο Λ, τέτοιο ώστε ΒΛ=3,5 cm. (α) Να βρεις το μήκος του ΚΛ, (β) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει να είναι ΚΛ=11 cm; (γ) Να διερευνήσεις σε ποιες περιπτώσεις το ΚΛ είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο από 11 cm. (Άσκηση 11, σελίδα 164 σχολικού).
Την επομένη τα παιδιά ζήτησαν να την εξηγήσω στον πίνακα, επειδή δεν την κατάλαβαν. Στην ίδια σελίδα του σχολικού, όλες οι προηγούμενες ασκήσεις, που είχαν γίνει ήταν ανάλογες. Τι ήταν αυτό που έκανε την άσκηση 11 δυσνόητη; Ήταν αυτό το "Να διερευνήσεις...". Τι πάει να πει;  Πώς γίνεται; Τι πρέπει να κάνει ένας μικρός μαθητής προκειμένου να "διερευνήσει", όταν δεν γνωρίζει την λέξη;
Ή να το θέσω αλλιώς: τι πρέπει να κάνω εγώ, ο μαθηματικός, όταν οι μαθητές μου συναντούν τέτοιες δυσκολίες, κάτι μάλιστα που συμβαίνει συχνά;
Αναγκάστηκα να αφιερώσω χρόνο, για να εξηγήσω τι σημαίνει "διερευνώ". Και φυσικά αξιοποίησα την ευκαιρία που μου δόθηκε να μιλήσω όχι μόνο γενικά για τη διερεύνηση, αλλά και ειδικά για τη διερεύνηση στα Μαθηματικά. 
"Η διερεύνηση στα Μαθηματικά είναι μια πολύ σημαντική δραστηριότητα. Διερευνώ σημαίνει..." Και κάθε φορά που έλεγα κάτι ρωτούσα αν ήξεραν την επόμενη λέξη που χρησιμοποιούσα. Τους είχα πάρει από φόβο. Αποκατάσταση. Ξέρετε τι σημαίνει; Όχι,  δεν ήξεραν. Γράψτε, αποκατάσταση είναι... 
Και ο χρόνος φεύγει και δεν ξέρω ποιο είναι το πιο χρήσιμο. Να τους δείξω να χρησιμοποιούν το μοιρογνωμόνιο ή να κάνω ό,τι περνάει από το χέρι μου για να διασφαλίσω τη λεκτική μας επικοινωνία;
Και για την Α' Γυμνασίου, λέω: Είναι Α' Γυμνασίου, ας τους βάλω σιγά σιγά στο πνεύμα, ας τους "καλοπιάσω", ας τους καλλιεργήσω τις απαραίτητες δεξιότητες για διερευνητική μάθηση, ας ξεκλέψω λίγο χρόνο από τη μέτρηση γωνιών με το μοιρογνωμόνιο, που ούτως ή άλλως σε λαθεμένα αποτελέσματα καταλήγει. Από την άλλη όμως δεν είναι και η χρήση των γεωμετρικών οργάνων, των οργάνων γενικότερα, μια απαραίτητη δεξιότητα; Τι προέχει; Πού να καταναλώσω τον λίγο χρόνο μου; Τέλος πάντων. Χτυπάει κουδούνι. Ό,τι προλάβαμε προλάβαμε. 

Πάμε στη Β'. 
Πυθαγόρειο θεώρημα. Πόσο όμορφα Μαθηματικά! Διαχρονικά, καθολικά και αδιάσειστα! Τριακόσιες και βάλε αποδείξεις πιστοποιούν ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών! Κάτι που και λέγεται και συμβολίζεται, α^2=β^2+γ^2, και ζωγραφίζεται. Όπως και να το δεις είναι πανέμορφο! Μέχρι που έρχεται η ώρα να το αντιστρέψουμε. Έρχεται, δηλαδή, η ώρα να διδάξω το αντίστροφο του Πυθογορείου θεωρήματος. Και τότε ζητάω από τα παιδιά να αντιστρέψουν το θεώρημα. "Να κάνετε την υπόθεση συμπέρασμα και το συμπέρασμα υπόθεση" τους λέω, με τη βεβαιότητα πως ζητώ το αυτονόητο. 
Και αρχίζουν να ακούγονται διάφορα. "Να γράψουμε β^2+γ^2=α^2", λέει ένας. "Αυτό δεν είναι αντιστροφή του θεωρήματος, είναι η ανακλαστική ιδιότητα της ισότητας" απαντώ εγώ. Κουνάει το παδί το κεφάλι, προσποιούμενο πως κατάλαβε... Ακούστηκαν κι άλλα παρόμοια. Μέχρι που μια μαθήτρια είπε: "Να γυρίσουμε το τρίγωνο ανάποδα"! Αστειευόμενη θα το είπε, θέλω να πιστεύω, αλλά ποτέ δεν ξέρεις τι βλέπουν και πώς σκέφτονται. Τι στ' αλήθεια κατανοούν αυτά τα μικρά παιδιά, που γεμίζουν τις τάξεις μου και τον χρόνο μου;
Κάθε χρόνο, έχω την εντύπωση, κατανοούν διαφορετικά πράγματα. Ή μήπως είμαι εγώ που κατανοώ διαφορετικά το τι κατανοούν τα παιδιά; Όπως και να έχει, σήμερα αναγκάστηκα να μιλήσω στη Β' Γυμνασίου για τη "δομή" του θεωρήματος. Αναγκάστηκα, επειδή δεν μπορούσαν ούτε κατά διάνοια να βρουν τι να κάνουν για να αντιστρέψουν το Πυθαγόρειο θεώρημα.Έπρεπε τάχα να γνωρίζουν; Και αν ναι, από πού; Πού έμαθαν, πού άκουσαν για αυτό που στα Μαθηματικά λέμε "θεώρημα". Πώς τους έφερα έτσι ... άγαρμπα σε επαφή με ένα θαυμαστό θεώρημα, χωρίς να τους έχω πρώτα εξηγήσει τι είναι ένα θεώρημα; Γιατί δεν το σκέφτηκα νωρίτερα;  
Πάμε πάλι. Η δομή ενός θεωρήματος είναι η εξής: υπόθεση, τα δεδομένα δηλαδή, και συμπέρασμα, αυτό που προκύπτει, που συνεπάγεται από την υπόθεση. Μεσολαβεί, βεβαίως, η απόδειξη...

Απόδειξη; Άλλη πονεμένη ιστορία. Η μαθηματική απόδειξη στα γυμνασιακά Μαθηματικά...

Τι τους μαθαίνουμε τελικά; Πώς να το διδάξουμε σωστά;
Κάθε χρόνο, εδώ και τρία χρόνια, συνειδητοποιώ πόσο πιο δύσκολο είναι να διδάσκεις στα μικρά παιδιά... Όμως είναι θέμα χρόνου, ελπίζω, να βρω πώς θα το κάνω σωστά...

Τρίτη, 28 Νοεμβρίου 2017

"Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΟΥ ΑΓΑΠΗΣΑ", από την Άννα Γαβριήλ

Φωτογραφία της συναδέλφου Σωτηρίας Γουρνά
Δεν έχει ακόμη συμπληρωθεί ένας μήνας από τότε που κυκλοφόρησε το βιβλίο μου και τα σχόλια, καθώς και οι φωτογραφίες, που εισπράττω καθημερινά με συγκινούν βαθιά. Καλές φίλες, καλοί φίλοι, αλλά και άνθρωποι που δεν γνωρίζα μέχρι χθες και που "Ο Γιάννης που αγάπησα" μας έφερε κοντά, μου στέλνουν μηνύματα πολλά.
Χθες έλαβα ένα "γράμμα" από την αγαπημένη φίλη και συνάδελφο Άννα Γαβριήλ. 
Η Άννα μου είχε γράψει παλιότερα ένα γράμμα [εδώ], που έγινε αφορμή να γίνουμε στενές φίλες και να συνεργαστούμε αρκετές φορές, ανοίγοντας η μιά την τάξη της (όπως και την καρδιά της) στην άλλη. Ανταλλάξαμε σχολικά βιώματα, τεστ, φύλλα εργασίας, αγωνίες και όποιες άλλες εμπειρίες μπορούν να ανταλλάξουν δυο γυναίκες που διδάσκουν μαθηματικά σε παιδιά και οι οποίες μέσα από τη διδασκαλία τους νιώθουν να ταυτίζονται συχνά και μάλιστα ανεξάρτητα από την ηλικία τους και τη διδακτική τους εμπειρία. 

Πρέπει να πω ότι η Άννα θα μπορούσε να είναι κόρη μου, αν και στην πραγματικότητα δεν το θεωρώ απαραίτητο, επειδή είναι μια μικρή λεπτομέρεια, χωρίς ιδιαίτερη σημασία, καθώς οι πραγματικοί δάσκαλοι -πιστεύω- δεν έχουν ηλικία... Είναι αιώνιοι έφηβοι! :)
Το γράμμα της Άννας, με το οποίο είμαι σίγουρη πως θα ταυτιστούν και άλλοι συνάδελφοι, όπως ταυτίστηκα κι εγώ, το κοινοποιώ και την ευχαριστώ για την όμορφη φιλία που χαιρόμαστε εδώ και αρκετόν καιρό. :)

Αγαπημένη Κατερίνα,

Φεύγοντας από το σχολείο, οδηγώντας – κι είναι αρκετά επικίνδυνο αυτό – σκέφτομαι πώς πήγε η μέρα μου στο σχολείο. Τι εικόνα έδωσα στα παιδιά, πώς τους μίλησα, αν ήμουν κατανοητή, μήπως τους αδίκησα με κάποιο βαθμό διαγωνίσματος, μήπως τους μίλησα απότομα, μήπως δεν εξήγησα αρκετά τις έννοιες; Άλλοτε σκέφτομαι πόσο θα ήθελα να ήξεραν τις σκέψεις μου. Να απολογηθώ για ένα απότομο φέρσιμο ή γιατί το διάλειμμα δεν έφτασε για να τους εξηγήσω μία παραπάνω άσκηση ή άλλοτε, να ζητήσω συγγνώμη που τους «τρώω» το διάλειμμα. Σε τελική ανάλυση, όμως, θα ήθελα να ξέρουν ότι τους σκέφτομαι πολύ μετά το πέρας των μαθημάτων κι όχι μόνο για την αξιολόγησή τους. Να ξέρουν ότι κάθε μάθημα στο οποίο έχουν ενεργή συμμετοχή είναι μία ευλογία για εμένα κι αυτό διαμορφώνει το ίδιο το μάθημα, τη ροή του, την κατανόηση των εννοιών, άρα και την αξιολόγησή τους. Με άλλα λόγια, «Η διδασκαλία είναι έρωτας!», όπως αρχίζει και το βιβλίο σου. Κι ένας έρωτας χρειάζεται ένα «ημερολόγιο», διότι πώς αλλιώς να καταγραφούν όλες οι συναισθηματικές μεταπτώσεις που έχει ένας ή «κατ’ ευχήν», δύο ερωτευμένοι; Ή στην περίπτωσή μας η αντιστοιχία καθηγητής με τον εκάστοτε «Γιάννη», αλλά και κάθε «Γιάννης» με τους «Γιάννηδες» της τάξης του.
«Ο Γιάννης» που αγάπησες, Κατερίνα, εκφράζει πολλούς από τους λόγους που σε αγάπησα κι εγώ διατυπωμένους σε περίπου 200 σελίδες. Διαβάζοντας τις «Ιστορίες ανατροπής στην τάξη των Μαθηματικών» δεν επέρχεται καμία ανατροπή στην εικόνα που έχω για τον τρόπο διδασκαλίας σου. Αν σκεφτώ τον κύριο τίτλο του βιβλίου σου έχω μία ισοδυναμία:
«Η Κατερίνα αγάπησε τον Γιάννη» ισοδυναμεί με την πρόταση «Ο Γιάννης που αγάπησε την Κατερίνα».
Η επόμενη σκέψη μου έχει κάτι από μία «διάσημη» ιδιότητα της ισότητας:
«Αν ο Γιάννης αγάπησε την Κατερίνα κι
εγώ αγάπησα την Κατερίνα σημαίνει ότι
ο Γιάννης αγάπησε εμένα;»
Και βέβαια, όπου «Γιάννης», είναι ο κάθε μαθητής μας κι όπου «Κατερίνα», είναι εκείνος ο δάσκαλος που αγαπάει τη διδασκαλία και που εντάσσει τον εαυτό του στους τυχερούς. Σε εκείνους τους τυχερούς που όπως επαναλαμβάνεις πολλές φορές στο βιβλίο σου, τυχεροί, διότι δρουν, εργάζονται, λειτουργούν κι αναπνέουν μέσα σε μία σχολική τάξη. Τα περισσότερα άρθρα, αν όχι όλα, διατυπώνουν το αίσθημα ευφορίας που αισθάνεται ένας καθηγητής μαζί με τους μαθητές τους στο περιβάλλον της σχολικής τάξης και του σχολείου. Ωστόσο, δυστυχώς ή ευτυχώς, τα πράγματα δεν ωραιοποιούνται. Αντίθετα, αν διαβάσει κανείς το βιβλίο σε μια δυο ημέρες, δηλαδή σαν να είναι ένα μυθιστόρημα, «μονορούφι» πιο απλά, θα νιώσει όλα τα προβλήματα ενός σχολείου, ανεξάρτητα από την πόλη που βρίσκεται αυτό κι έτσι, επαγωγικά, θα διαβάσει τα καθημερινά προβλήματα ενός καθηγητή και του ελληνικού εκπαιδευτικού συστήματος. Προβλήματα διαχρονικά που λύση δεν έχουν. Ή μάλλον, ας τα πούμε «ανοιχτά» προβλήματα, δίχως έπαθλο για την προσπάθεια να αποφανθούμε αν λύνονται ή όχι.
«Τι σημαίνει διδάσκω Μαθηματικά», «Πόσο λάθος διδάσκονται», «Ποια είναι τα όριά μας ως καθηγητές κι ως μαθητές», «Άλλα μας μαθαίνετε στο Γυμνάσιο και άλλα στο Λύκειο», πώς να κάνει κανείς μάθημα σε μαθητές που απουσιάζουν ή που ήδη τα ξέρουν από το φροντιστήριο και τι πραγματικά είναι αυτό το «τα ξέρουν», ποιο είναι το νέο Λύκειο κάθε φορά που αλλάζει η κυβέρνηση και ποια είναι η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών; Πώς να διδάξεις παραμετρικές εξισώσεις σε τρεις ώρες και πώς να απαντήσεις καταφατικά στους μαθητές σου – ακόμα και στις 8.30 το πρωί – στο ερώτημα: «Αν μάθω Μαθηματικά, θα σώσω τον κόσμο»; Κάθε άρθρο και ερωτήματα, που αν οι ιθύνοντες προσπαθούσαν να τα απαντήσουν, πολλά από τα διαχρονικά πια προβλήματα των εκπαιδευτικών, των μαθητών και των γονιών θα επιλύονταν. Πώς να διδάξεις παιδιά με ενδοοικογενειακά ή και με βιοποριστικά προβλήματα και ταυτόχρονα, πώς να διδάξεις παιδιά που φαίνεται να «τα έχουν όλα»; Πώς θα προσαρμοστεί ένας άνθρωπος απέναντι σε 25 διαφορετικούς εφήβους με ορμόνες στο κόκκινο, με διαφορετικές ανάγκες, επιθυμίες, ενδιαφέροντα και στόχους;
Η «ομπρέλα» που θα δώσει μία λύση είναι μία: «Διάβασμα, προετοιμασία, ιδέες, αγάπη για το αντικείμενό σου, αλλά όχι μονόπλευρα, διαθεματικά. Μάθε τον «Γιάννη» κι αγάπησέ τον, για τα ενδιαφέροντά του, για τον τρόπο και τον ρυθμό που μαθαίνει. Μίλα στα παιδιά για τη χρήση της γλώσσας στα μαθηματικά, για τη λογοτεχνία στη ζωή μας, για «ελλείψεις» και «υπερβολές», για τη «γενική της γεωμετρίας» και πρότρεψέ τα να σε ρωτήσουν» είναι μερικές μόνο από τις συμβουλές που ένιωσα να μου δίνει έμμεσα, Κατερίνα, το βιβλίο σου. Ένα ημερολόγιο δασκάλου, μία εξομολόγηση, ένας μονόλογος για πολλούς!
«Θεώρησε τον εαυτό σου τυχερό και εκμεταλλεύσου το» κι αυτό σκοπεύω να κάνω!

Άννα Γαβριήλ

Κι εγώ Άννα! 
Κι εγώ με θεωρώ τυχερή που η επαγγελματική μου ιδιότητα με φέρνει κοντά όχι μόνο με μαθητές και με μαθήτριες, αλλά και με πολύ αξιόλογους συναδέλφους, σαν κι εσένα.
Και γενικά με φέρνει κοντά σε μικρά και μεγάλα παιδιά. Κι αυτό βαθιά με συγκινεί και με γεμίζει χαρά! 

Τρίτη, 21 Νοεμβρίου 2017

Εγκώμιο για τα μαθηματικά

Ξεκλέβω χρόνο, για να διαβάσω το βιβλίο του Alain Badiou, του δημοφιλούς και στη δική μας χώρα μαθηματικού, φιλοσόφου, συγγραφέα, μυθιστοριογράφου και πολιτικού αγωνιστή. Kαι ξεκλέβω λίγο   περισσότερο χρόνο, επειδή θέλω να μοιραστώ ένα  μικρό από τα πολλά και ενδιαφέροντα αποσπάσματα του βιβλίου με τους αναγνώστες του blog.
Πάω κατευθείαν στο θέμα, επειδή ο χρόνος με πιέζει, αλλά και επειδή οι περιστροφές για τέτοια διαχρονικά, πολυσυζητημένα  και καθολικά θέματα είναι περιττές.
Γράφει ο Badiou, στη σελίδα 34 του βιβλίου του:

Τα μαθηματικά συγκρότησαν πολύ νωρίς, ήδη από την αρχαία Ελλάδα, ένα σύμπαν στο οποίο κάποια πράγματα θεωρούμενα ως αληθή, αποδεδειγμένα, κυκλοφορούν υπό τον όρο της επικύρωσής τους και της αποδοχής τους από την κοινότητα των ανθρώπων που "είναι γνώστες του αντικειμένου", και όχι ως απλή πράξη μιας αυθεντίας που προκύπτει από το ότι ο μαθηματικός αποκαλείται "μαθηματικός". Ο μαθηματικός αντίθετα είναι εκείνος που εισάγει για πρώτη φορά μια καθολικότητα, τελείως απαλλαγμένη από κάθε μυθολογική ή θρησκευτική προϋπόθεση, και που δεν παίρνει πλέον τη μορφή της αφήγησης, αλλά εκείνη της απόδειξης. Η θεμελιωμένη στην αφήγηση αλήθεια είναι παραδοσιακή "αλήθεια", μυθολογικού τύπου, ή αποκεκαλυμμένη. Τα μαθηματικά κλονίζουν όλες τις παραδοσιακές αφηγήσεις: η απόδειξη δεν παρουσιάζεται παρά εξαρτώμενη από την ορθολογική απόδειξη, εκτεθειμένη σε όλους και ανασκευάσιμη στην ίδια της την αρχή, με αποτέλεσμα εκείνος που διατύπωσε μια απόφανση, η οποία τελικά αποδείχτηκε ψευδής, να οφείλει να υποκλιθεί. Με αυτήν την έννοια τα μαθηματικά μετέχουν της δημοκρατικής σκέψης που εμφανίζεται εξάλλου στην Ελλάδα ταυτόχρονα με αυτά. Και η φιλοσοφία δεν μπόρεσε να συγκροτηθεί στην αυτονομία της σε σχέση με τη θρησκευτική αφήγηση, παρά μόνο αυτό το τυπικό στήριγμα, που αναμφίβολα αφορούσε έναν περιορισμένο τομέα της διανοητικής πράξης, αλλά έναν τομέα που είχε τελείως ανεξάρτητες νόρμες, νόρμες ρητές, που ο καθένας μπορούσε να γνωρίσει. 
Μια απόδειξη έπρεπε να είναι απόδειξη, και αυτό είναι όλο. 
Πράγματι, υπάρχει ήδη από την αρχή στενή σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά, τη δημοκρατία και τη φιλοσοφία.

Ως μέλος της ομάδας Θαλής+Φίλοι, παρακολούθησα όλα τα θερινά μας συνέδρια και είχα την τύχη, δέκα χρόνια πριν, να ακούσω για πρώτη φορά τη διασύνδεση των μαθηματικών με τη δημοκρατία, σε μια πρωτότυπη ομιλία του Απόστολου Δοξιάδη, ο οποίος μάλιστα αποδείκνυε τον ισχυρισμό πως η δημοκρατία είναι αποκύημα των μαθηματικών και πως χωρίς τον θεμελιώδη μαθηματικό συλλογισμό, "αν χ είναι ψ και αν ψ είναι ω, τότε χ είναι ω", δεν θα είχε ποτέ επινοηθεί  το δημοκρατικό πολίτευμα. Με είχε γοητεύσει η ομιλία εκείνη. Άλλαξε σε μεγάλο βαθμό και τον τρόπο που σκέφτομαι και τον τρόπο που παρουσιάζω τα μαθηματικά στους μαθητές μου. Έκτοτε, αναφέρομαι με κάθε ευκαιρία στην εγγενή δημοκρατικότητα της φύσης των μαθηματικών... Οι μικροί μαθητές, συχνά ξαφνιάζονται και ρωτούν διάφορα.
Ο χρόνος όμως πιέζει και θα σταματήσω εδώ.

Ένα μόνο ακόμη θα πω. 
Αν δεν εκδημοκρατίσουμε τα σχολικά μαθηματικά, αν δηλαδή δεν μυήσουμε τους μικρούς μαθητές στην αναζήτηση αποδείξεων και στην διατύπωση αμφισβητήσεων,  και συνεχίσουμε να τα "επιβάλουμε" παραδοσιακά ως "αποκεκαλυμμένη αλήθεια", τότε νομίζω πως ως κοινωνία, κινδυνεύουμε πραγματικά...


Κυριακή, 12 Νοεμβρίου 2017

Οδός Μαθηματικής Σκέψης, από τις εκδόσεις Μαυρίδη

Εδώ και λίγο καιρό έχω στα χέρια μου το βιβλίο της διπλανής φωτογραφίας! "Οδός Μαθηματικής Σκέψης", των Γιάννη Θωμαΐδη και Γιώργου Ρίζου, από τις εκδόσεις Μαυρίδη. Είναι ένα πολύ ιδιαίτερο βιβλίο και όχι μόνο λόγω των ονομάτων που το υπογράφουν. Είναι ιδιαίτερο  λόγω του πρωτότυπου συγκερασμού του περιεχομένου του, παράδειγμα του οποίου θα παραθέσω στη συνέχεια.
Ως δάσκαλοι των Μαθηματικών έχουμε συνηθίσει να μελετάμε βιβλία με μαθηματικό περιεχόμενο που απαιτούν μολύβι, χαρτί, χρόνο και συγκέντρωση.  Αρκετοί από εμάς διαβάζουμε, επίσης, βιβλία διδακτικής  και ιστορίας των Μαθηματικών, που εξηγούν πώς εξελίχτηκαν στο διάβα του χρόνου οι μαθηματικές έννοιες, πώς συνδέθηκαν και πώς αλληλοεπέδρασαν με άλλες εκφάνσεις της ανθρώπινης επινόησης και πώς  έφτασαν να έχουν τη σημερινή τους μορφή, την οποία εμείς επιχειρούμε - όχι πάντα με επιτυχία - να εξηγήσουμε στους μαθητές και στις μαθήτριές μας.  Και λέω "αρκετοί από εμάς", επειδή αναμφιβόλως υπάρχουν δάσκαλοι που κρίνουν ότι για να είναι κάποιος καλός δάσκαλος των Μαθηματικών απαιτούνται μόνο τα εξής ... τρία πράγματα: 
1ο. Να γνωρίζει καλά τα Μαθηματικά
2ο. Να γνωρίζει καλά τα Μαθηματικά
3ο. Να γνωρίζει καλά τα Μαθηματικά...

Δεν μπορώ να μη θέσω το ερώτημα: τι σημαίνει "γνωρίζω καλά τα Μαθηματικά"; 
  • Σημαίνει πως κατέχω τους αυστηρούς κανόνες της Λογικής και τους εφαρμόζω απαρέγκλιτα σε κάθε μαθηματική - και όχι μόνο - δραστηριότητα της ζωής μου;
  • Σημαίνει πως μπορώ να αποδεικνύω πολύπλοκες αλγεβρικές ταυτοτικές ανισο-ισότητες, σαν να παίζω ένα παιχνίδι συμβόλων που δεν έχουν το ισοδύναμό τους ή την προβολή τους στον ρεαλιστικό κόσμο;
  • Σημαίνει πως απολαμβάνω την απαράμιλλη υψηλή αισθητική που κατοικοεδρεύει στον πυρήνα των καθαρών Μαθηματικών;
  • Σημαίνει πως μπορώ να επιλύω προβλήματα και να απαντώ σε ανάγκες και δυσκολίες που προκύπτουν εντός και εκτός πραγματικότητας;
  • Σημαίνει πως στοχάζομαι, προβλέπω, μαντεύω και προλαβαίνω κρίσιμες καταστάσεις;
  • Σημαίνει πως έχω την επίγνωση του ρόλου μου και των δυνατοτήτων μου ως ιστορικό υποκείμενο;

Ποια είναι η σωστή απάντηση; Είναι όλες οι προηγούμενες; Είναι άλλες που δεν μπορώ να σκεφτώ; Και αν όλες οι προηγούμενες ερωτήσεις απαντηθούν καταφατικά, τότε υπάρχει κάποιος -μεταξύ ημών και υμών- που με το χέρι στην καρδιά τολμά να πει: "Ναι, εγώ γνωρίζω καλά τα Μαθηματικά!"; Και τι είναι τα Μαθηματικά; Ένα περιορισμένο χωρίο, με αρχή, μέση και τέλος που το διαβαίνει ο καθείς, σαν να κάνει περίπατο; Ή μήπως είναι μια περιπέτεια με ανεξάντλητες προοπτικές στο χώρο και στο χρόνο, με συμπτώσεις, με αποκλίσεις, με αντιφάσεις, με παρανοήσεις και -γοητευτικές- παραπλανήσεις; 

Διαβάζω το βιβλίο των Θωμαΐδη-Ρίζου, αργά αργά, επειδή σε κάθε σελίδα του, εκτός από την ηθική ικανοποίηση που βιώνω και την πρακτική απολαβή που εισπράττω-κρατώντας σημειώσεις για να τις αξιοποιήσω στην τάξη μου μελλοντικά-, καθώς διαβάζω ξεπηδούν στο κεφάλι μου ερωτήματα πολλά. Ερωτήματα που αφορούν στο σήμερα και στις δικές μας ανοιχτές αντιπαραθέσεις για το πώς διδάσκονται στην σύγχρονη τάξη τα Μαθηματικά, αλλά και ερωτήματα ιστορικά που πηγάζουν από τον συγκερασμό που έχουν πετύχει οι  έμπειροι συγγραφείς του βιβλίου.
Παραθέτω - με την άδειά τους; - ένα πολύ μικρό, αλλά χαρακτηριστικό, απόσπασμα.



"Υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα ζητήματα σε αυτό το ιστορικό μαθηματικό κείμενο, το πρώτο στο οποίο γίνεται ταυτόχρονη χρήση αγνώστων και παραμέτρων για την επίλυση ενός αριθμητικού προβλήματος."!

Το πολύ ενδιαφέρον ζήτημα που εντοπίζω, στα όρια της δικής μου καθημερινότητας, είναι πως μελετώντας αυτό το βιβλίο βελτιώνω τις μεθόδους και τις πρακτικές που εφαρμόζω στην τάξη μου, όπου αυτόν τον καιρό διδάσκω στους μικρούς μου μαθητές και στις μικρές μου μαθήτριες τη χρήση των γραμμάτων στην επίλυση των εξισώσεων και των προβλημάτων!
Κατά συνέπεια, στα βιβλία που καθημερινά μελετώ, έχω εντάξει και το βιβλίο αυτό.
Ανεκτίμητη προστιθέμενη αξία στον κάθε εκπαιδευτικό.
Αλλά και στον καθένα που αγαπά τα Μαθηματικά ή, απλά, νιώθει την ανάγκη να μάθει πώς η σκέψη, γύρω από το μαθηματικό πρόβλημα,  εξελίχτηκε ιστορικά...



Σάββατο, 21 Οκτωβρίου 2017

"ΑΝΑΓΩΓΗ" ... ΣΤΟ ΛΕΞΙΚΟ...

Σήμερα, παρακολουθώντας  τις εισηγήσεις των κ.κ. Μιχάλη Λάμπρου και Γιάννη Θωμαΐδη, στη διημερίδα που διοργάνωσε η Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί με θέμα τη διδασκαλία της Ανάλυσης στο Λύκειο, σκεφτόμουν ξανά και ξανά το μάθημα που έκανα στα δύο τμήματα της Β' Γυμνασίου, όπου χθες ολοκληρώσα την πρώτη παράγραφο του σχολικού εγχειριδίου με τίτλο "Η έννοια της μεταβλητής-Αλγεβρικές παραστάσεις". 
Η πρώτη επίσημη επαφή των μικρών μαθητών με την έννοια της μεταβλητής γίνεται ακριβώς σε αυτήν εδώ την παράγραφο, στη δεύτερη τάξη του Γυμνασίου, όπου σιγά σιγά μπαίνουν οι βάσεις για την εκμάθηση της Ανάλυσης, που επί σειρά ετών ταλαιπωρεί πλήθος μαθητών... 
Τόσο οι μικροί όσο και οι μεγάλοι μαθητές συχνά ονομάζουν τη μεταβλητή "άγνωστο", επειδή συγχέουν τη διαφορετική λειτουργία των μεταβλητών, των αγνώστων και των παραμέτρων. Ειδικά δε αυτές τις τελευταίες πιστεύω ότι πολλοί δεν τις κατανοούν ακόμη και  στις τελευταίες τάξεις του Λυκείου...
Έχοντας πλήρη επίγνωση της εγγενούς δυσκολίας στη χρήση των αλγεβρικών γραμμάτων, κυρίως από την εμπειρία μου στο Λύκειο, (αφού στη Β' Γυμνασίου δίδαξα μόνο το 2015-16 και διδάσκω πάλι φέτος), αποφάσισα να επιμείνω πολύ σε αυτήν την πρώτη και πολύ βασική παράγραφο. Για το λόγο αυτό, πριν μπω στο βιβλίο έδωσα στους μαθητές μου το φύλλο εργασίας του συναδέλφου Ανδρέα Κουλούρη, το οποίο είχα ξαναχρησιμοποιήσει πρόπερσι.
Αφιέρωσα δύο διδακτικές ώρες στο φύλλο. Ύστερα άλλες δύο στο βιβλίο. Έγιναν οι ερωτήσεις κατανόησης, (δύο στην τάξη μία στο σπίτι), έγιναν οι ασκήσεις της σελίδας 14 (κάποιες στην τάξη, κάποιες στο σπίτι), ελέγχθηκαν τα αποτελέσματα και χθές, στο πέμπτο και τελευταίο μάθημα, το πλάνο μου έλεγε πως, αφού πρώτα λύναμε τυχόν (τελευταίες) απορίες   στην παράγραφο αυτήν, θα λύναμε το πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα διατροφής και υγείας της άσκησης 7, όπου περιγράφεται ο τρόπος υπολογισμού του δείκτη σωματικού βάρους. 
Ήθελα να ολοκληρώσουμε το πρόβλημα στην τάξη, για να δώσω στα παιδιά ως ...  homework - εκτός από την επανάληψη για το προειδοποιημένο τεστάκι της Δευτέρας - και μια "οικογενειακή δραστηριότητα", ζητώντας να υπολογίσουν τον δείκτη σωματικού βάρους των μελών της οικογένειάς τους. 
[Δεν θα ήταν η πρώτη οικογενειακή δραστηριότητα που θα έβαζα στα παιδιά αυτά. Πέρυσι τους είχα βάλει δύο, μια χριστουγεννιάτικη και μια στο πλαίσιο της θεματικής εβδομάδας, με θέμα "Μαθηματικά και διατροφή"].
Όμως η δυσκολία που αντιμετώπισαν αρκετοί μαθητες στις ασκήσεις 5 και 6 επέβαλε αλλαγή του πλάνου και μια εξ αρχής ενασχόληση με το ρόλο και τη λειτουργία των μεταβλητών. 
Και αυτό ίσως είναι αναμενόμενο, καθώς οι μικροί μαθητές  δυσκολεύονται να υπολογίσουν την αριθμητική τιμή μιας αλγεβρικής παράστασης, αντικαθιστώντας τις μεταβλητές της με κάποιους δοσμένους αριθμούς.
'Ομως αυτό που δεν ήταν αναμενόμενο, τουλάχιστον όχι από μένα, είναι το πόσο πολύ δυσκολεύτηκαν οι μαθητές να μου πουν πώς θα απλοποιήσουμε την αλγεβρική παράσταση Β=5(2α-3β)+3(4β-α) της άσκησης 5. Και όταν λέω δυσκολεύτηκαν, δεν εννοώ ότι δυσκολεύτηκαν στις διαδικασίες. Οι περισσότεροι τις έκαναν σωστά. Έδιωξαν τις παρενθέσεις, εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. Αυτό το κάνουν σχεδόν όλοι, ακόμη και εκείνοι που δεν θυμούνται το όνομα της ιδιότητας. 
(Σε ένα τμήα της πρώτης τάξης ένας μικρός μαθητής μου την είπε "προσμεριστική" κι ένας άλλος πετάχτηκε για να τον διορθώσει λέγοντας πως είναι "αντιμεριστική"!)
Δυσκολεύτηκαν πολύ να μου πουν με ορολογία Άλγεβρας τι ακριβώς κάνουν.
Ειδικά όταν έκαναν την αναγωγή όμοιων όρων.
Δεν βρέθηκε ούτε ένα παιδί να θυμηθεί πώς λέγεται αυτή η διαδικασία που μετατρέπει την αλγεβρική παράσταση σε απλούστερη με την εκτέλεση των προσθαφαιρέσεων.
Άρχισα να λέω "Αν... Αν....Αν", περιμένοντας να το ξεστομίσουν. 
Το βρήκε μια μαθήτρια. "Αναγωγή!". 
"Σωστά, αναγωγή. Αλλά πρέπει να πείτε τρεις λέξεις", επέμενα.
"Αναγωγή στους όρους;", ρώτησε διστακτικά η μαθήτρια.
" "Αναγωγή στους όρους", όπως λέμε "αναγωγή στη μονάδα" ;", ρώτησα εγώ.
Με κοίταζαν με μάτια διάπλατα... 
"Ξέρετε τι σημαίνει η λέξη "αναγωγή";", ρώτησα την τάξη...
Σιωπή... Κι όμως το είχαμε πει.
Τους ζήτησα να το ψάξουν στο λεξικό. 
Homework. Να βρείτε στο λεξικό τις λέξεις "ανάγομαι", "αναγωγή".
Όπως φαίνεται το φύλλο εργασίας του Ανδρέα Κουλούρη, όπου πολύ ωραία και σταδιακά χτίζεται η διαδικασία της αναγωγής όμοιων όρων και στη συνέχεια ορίζεται ρητά, καθώς και ο ορισμός του σχολικού βιβλίου που βρίσκεται μετά από τα παραδείγματα της σελίδας 12, αλλά και οι πάμπολλες φορές που το αναφέραμε τις προηγούμενες μέρες στην τάξη, τόσο εγώ όσο και κάποια παιδιά, δεν αποδείχτηκαν αρκετά για να μείνει ο όρος στη μνήμη τους.
Αντιθέτως η αναγωγή στη μονάδα, μια διαδικασία που μαθαίνουν  στο Δημοτικό και την επαναλαμβάνουν στην πρώτη τάξη του Γυμνασίου, φαίνεται πως ανακαλείται στο άκουσμα της λέξης "αναγωγή" και αυτό μερικώς δικαιολογεί τη σύνταξη της μαθήτριας, που είπε "αναγωγή στους όρους". 
Όπως και να' χει γίνεται φανερό πως πολλές λέξεις που κατά κόρο χρησιμοποιούμε στο μάθημα των Μαθηματικών στερούνται παντελώς νοήματος στο μυαλό των μικρών παιδιών.



Η δυσκολία στην κατανόηση του τρόπου που λειτουργούν οι λέξεις στα Μαθηματικά, μας παίρνει συχνά πολύ χρόνο, δίνοντας στο μάθημα έναν ρυθμό αργό. 
Γι' αυτό, πιστεύω πως όταν και αν γραφτούν καινούρια βιβλία Μαθηματικών, θα πρέπει να συμπεριλάβουν και ένα απαραίτητο, στοιχειώδες έστω, πλην ... αναλυτικό λεξικό. 
Γιατί πώς αλλιώς θα καταλάβουν τα παιδιά στο Λύκειο την Ανάλυση και δεν θα είναι οι μεταβλητές και η λειτουργία τους- όπως είπε και ο κος Λάμπρου - ένα τοπίο θολό;