Παρασκευή, 5 Απριλίου 2013

ΑΣ ΒΑΛΟΥΜΕ ΤΟ ΜΥΑΛΟ ΜΑΣ ΝΑ ΔΟΥΛΕΨΕΙ




"Τα μαθηματικά προκύπτουν από την αλληλεπίδραση μεταξύ της δικής τους δυναμικής και της σχέσης τους με τον έξω κόσμο. Αυτή η αλληλεπίδραση είναι ζωτικής σημασίας και η απουσία οποιασδήποτε από τις δύο καταστρέφει όλες τις ιδεολογικές εκδοχές των μαθηματικών", γράφει ο Ian Stewart στη σελίδα 165 του βιβλίου του "Οι μυστικοί αριθμοί"*, θίγοντας ένα θέμα μέγιστης διδακτικής και επιστημολογικής σημασίας. 
Ο λόγος όμως που γράφω σήμερα δεν έχει να κάνει με τη Διδακτική των Μαθηματικών ούτε με τον τρόπο που αποκτούν νόημα -για τους μαθητές μας, αλλά και για μας- οι μαθηματικές έννοιες, παρόλο που το συγκεκριμένο θέμα  με απασχολεί ιδιαιτέρως και έρχεται σχεδόν καθημερινά στο προσκήνιο μέσω της διδακτικής διαδικασίας. 
Ο λόγος που γράφω σήμερα έχει να κάνει με ένα σύντομο video με τίτλο 'The Fractal Geometry of Roughness', που παρακολούθησα νωρίτερα και έχει παγιδέψει το μυαλό μου για περισσότερους από έναν -και μάλιστα φαινομενικά ασύνδετους μεταξύ τους- λόγους. Αλλά, ας τα πάρω με τη σειρά ή καλύτερα: ας προσπαθήσω να βάλω τάξη στην αταξία. :)
*****************
1ο. Πριν από λίγες μέρες, αναφέροντας σε ένα τμήμα της Γ' Λυκείου τη λέξη "φράκταλ", βρέθηκα αντιμέτωπη με την άγνοια των μαθητών μου. Κάποιοι ρώτησαν τι σημαίνει "φράκταλ" και η διαπίστωση ήταν πως κανένας στο τμήμα δεν γνώριζε. Αναρωτήθηκα για μια ακόμη φορά πόσο "λειτουργικά" είναι τα μαθήματα που διδάσκουμε στα παιδιά και κατά πόσο διασυνδέουν τα Μαθηματικά με τον έξω κόσμο, πολύ δε περισσότερο με τις εξελίξεις του έξω κόσμου.. Έδωσα δυο τρεις πληροφορίες στους μαθητές που ενδιαφέρθηκαν να μάθουν τι σημαίνει φράκταλ, εξηγώντας την "αυτο-ομοιότητα" και τους πρότεινα να "googlάρουν" "το σύνολο του Μάντελμπροτ".
*****************
2ο. Ο Ian Stewart στη σελίδα 167 γράφει: "Το όνομα του Μάντελμπροτ συνδέεται με ένα φράκταλ που επινόησε ο ίδιος και έγινε πολύ δημοφιλές: το σύνολο του Μάντελμπροτ. Αντίθετα με τα περισσότερα φράκταλ του, αυτό αποτελεί μια άσκηση καθαρών μαθηματικών - μαθηματικά για τα μαθηματικά, για τη χαρά της διανοητικής ανακάλυψης. [...] 
Τα φράκταλ είναι περίπλοκα σχήματα που δημιουργούνται από απλούς κανόνες και προδίδουν την προέλευσή τους συνδυάζοντας δαιδαλώδη αταξία με ταξινομημένη κατασκευή. 
Οι χιονονιφάδες είναι επίσης πολύπλοκα σχήματα, άρα αναμένουμε ότι η δημιουργία τους βασίζεται σε απλούς κανόνες - νόμους της φυσικής. 
Διαθέτουν επίσης αυτό το χαρακτηριστικό συνδυασμό τάξης και αταξίας, με την τάξη να είναι η εξαπλή συμμετρία και την αταξία τα περίπλοκα διακλαδιζόμενα σχήματα των φυλλωμάτων της φτέρης. Είναι η χιονονιφάδα ένα φράκταλ; Και αν ναι, πού βρίσκεται η απόδειξη; 
Το φράκταλ είναι μια αφηρημένη έννοια των μαθηματικών. 
Η νιφάδα είναι ένα πραγματικό αντικείμενο. 
Αυτά τα δύο πράγματα είναι διαφορετικής φύσεως και επομένως η χιονονιφάδα δεν είναι φράκταλ."
------------------------------------------------------------
Μη βιαστεί να συμπεράνει κανείς πως με το συλλογισμό:
"επειδή α=β, γ=δ και β διάφορο του δ, θα είναι και α διάφορο του γ", που εφάρμοσε ο Stewart παραπάνω το θέμα 'χιονονιφάδα' έληξε εδώ, επειδή θα ήταν τουλάχιστον αφελές να δεχτούμε ότι ένας τόσο απλοϊκός συλλογισμός θα μπορούσε να δώσει τέλος σε ένα τόσο σύνθετο, χαοτικό αν προτιμάτε, θέμα. Το μαρτυρά, άλλωστε, και η συνέχεια του κειμένου, από το οποίο αντιγράφω αυτούσιες μερικές ακόμη γραμμές, πριν διατυπώσω τον προβληματισμό μου ή τουλάχιστον πριν προσπαθήσω να τον διατυπώσω. Ρωτάει ο Stewart:
-------------------------------------------------------------
"Τελειώνει η ιστορία εδώ; Όχι - παρ' ότι εντυπωσιάζομαι διαρκώς από ευφυείς ανθρώπους που λένε πως τελειώνει. Η γεωμετρία των φράκταλ είναι αμφιλεγόμενη - υποθέτω λόγω της πρωτοτυπίας της - και η διαφορά μεταξύ μαθηματικών και πραγματικότητας είναι ένα καθιερωμένο επιχείρημα που προβάλλουμε για να την απορρίψουμε. Όμως, σύμφωνα με το ίδιο σκεπτικό, οι πλανήτες δεν είναι σφαίρες ή σημειακές μάζες, άρα ο νόμος του Νεύτωνα για τη βαρύτητα δεν λέει τίποτε για πλανήτες. Ένας κρύσταλλος δεν είναι ένα τέλειο κανονικό πλέγμα, άρα οι κρυσταλλογραφικές συμμετρίες δεν μας λένε τίποτε για τους κρυστάλλους. Ένας Ναυτίλος δεν είναι μια σπείρα, το DNA δεν είναι μια διπλή έλικα...
Ας βάλουμε το μυαλό μας να δουλέψει. Οι μαθηματικές έννοιες είναι πάντοτε εξιδανικεύσεις του πραγματικού κόσμου, έτσι λειτουργούν τα μαθηματικά. Αντικαθιστούμε την ακαταστασία του πραγματικού κόσμου από μια προσεκτικά επιλεγμένη εξιδανίκευση, εύκολη στην κατανόησή της και τότε έχουμε μια ευκαιρία να καταλήξουμε κάπου..."
*****************
Και η 'ιστορία', προφανώς, δεν τελειώνει ούτε εδώ, τουλάχιστον όχι στη σελίδα 168. :) Ακολουθούν άλλες πενήντα  σελίδες γεμάτες με προβληματισμό γύρω από τη φύση του χάους, καθώς και με  λογικά επιχειρήματα, τα οποία, εν τέλει, θεμελιώνουν τη θεωρία πως 'το Χάος είναι μια φαινομενική τυχαιότητα με καθαρά ντετερμινιστικό αίτιο', ώσπου στην τελευταία παράγραφό του ο Stewart, με τη σεμνότητα και τη σύνεση που χαρακτηρίζουν έναν κορυφαίο επιστήμονα, ομολογεί:

"...έχω επίγνωση του πόσο λίγα γνωρίζουμε για τον κόσμο μας. Πόσο φτωχή είναι η ιστορία μου για τη χιονονιφάδα μπροστά στην εκθαμβωτική πραγματικότητα! Υπάρχουν ακόμη τόσα πολλά να μάθουμε!"
*****************
3ο. Ανάμεσα στα πολλά που ο καθένας από μας έχει ακόμη  να μάθει, πιστεύω πως θα ήταν χρήσιμο να συμπεριληφθεί και μια γνώση που αφορά στο πώς ο Benoit Mandelbrot ανακάλυψε τα σύνολα που φέρουν το όνομά του, πώς έφτασε σ' αυτά και ποια ήταν τα ερωτήματα που προσπάθησε να απαντήσει. Ιδού μερικά όπως τα έχει διατυπώσει ο ίδιος:

"...Τι σχήμα έχει ένα βουνό, μια ακτογραμμή, ένας ποταμός, ένα σύννεφο, μια φλόγα; Πόσο πυκνή είναι η κατανομή των γαλαξιών στο Σύμπαν; Πώς μπορεί κάποιος να περιγράψει την μεταβλητότητα στις τιμές των μετοχών; Οι αριθμοί μετρούν εμβαδά και μήκη. Θα μπορούσε κάποιος άλλος αριθμός να μετράει την «τραχύτητα» του σκουριασμένου σιδήρου, ή του θρυμματισμένου γυαλιού; Την πολυπλοκότητα ενός μουσικού θέματος ή της αφηρημένης τέχνης; Μπορεί η γεωμετρία να κομίσει αυτό που υπόσχονται οι ελληνικές ρίζες της ονομασίας της – αληθείς μετρήσεις, όχι μόνο των καλλιεργημένων χωραφιών κατά μήκος του ποταμού Νείλου αλλά επίσης και της αδάμαστης Γης;
Η ζωή μου ήταν γεμάτη από τέτοια ερωτήματα..."

------------------------------------------------------------------
Μπορείτε, αν θέλετε, να διαβάσετε ολόκληρο το πολύ ενδιαφέρον κείμενο του Mandelbrot στο profil των Εκδόσεων Τραυλός στο facebook ακριβώς κάτω από την κοινοποίηση: 
"Great news! Μόλις "κλείσαμε" για την ελληνική γλώσσα την  ΑΥΤΟ-βιογραφία του Benoit Mandelbrot "The Fractalist". "
Επίσης μπορείτε να δείτε το video, (εδώ), που είδα κι εγώ νωρίτερα,  και με προβλημάτισε για πολλούς και διάφορους λόγους. Φαινομενικά ασύνδετους, όσο ασύνδετα είναι τα όργανα της αναπνοής μας - δηλαδή οι "κακώς ορισμένοι" φράκταλ πνεύμονες για τη συνολική επιφάνεια των οποίων οι ανατόμοι διαφωνούν - με τις ελεύθερες αγορές και τη μεταβλητότητα των μετοχών...
Ο Mandelbrot κατάφερε ό,τι κατάφερε αντιστρέφοντας μια κατάσταση: χρησιμοποίησε τις επινοημένες μαθηματικές του έννοιες, για να περιγράψει πραγματικά αντικείμενα. 
Κατασκεύασε μια Γεωμετρία για αντικείμενα που μέχρι τότε δεν είχαν γεωμετρία. Οι πνεύμονες, τα νεφρά, οι εγκέφαλοί μας, οι τιμές στο χρηματιστήριο...τόσο οι πραγματικές αυξήσεις των τιμών όσο και οι πλασματικές αυξήσεις**, περιγράφονται με την ίδια φράκταλ (μορφο-κλασματική) Γεωμετρία, που ακόμη αγνοούμε και ως εκ τούτου οι περισσότεροι δεν την ... χρησιμοποιούμε, γι' αυτό ας βάλουμε το μυαλό μας να δουλέψει, μήπως και βρεί τρόπους που θα κάνουν το μυαλό των παιδιών μας να δουλέψει και κάποιο από αυτά στο μέλλον ίσως να παρατηρήσει, όπως ακριβώς κι ο Mandelbrot παρατήρησε στο πρόσφατο παρελθόν, αυτό που σήμερα όλοι εμείς απλά κοιτάζουμε, χωρίς να το κατανοούμε. Ίσως μόνο έτσι υπάρχει ελπίδα να σωθούμε.
Διαβάστε, μικροί μεγάλοι, γιατί χανώμαστε...(δηλαδή, χανόμαστε...)

------------------------------------------------------------------------------------------
* Ένα μικρό απόσπασμα από το βιβλίο "Οι μυστικοί αριθμοί" του Ian Stewart έχω αντιγράψει παλιότερα εδώ
**Και όσοι, Δ.Χ., επιμένουν πως οι ελεύθερες αγορές μπορούν να λειτουργήσουν τόσο ομαλά όσο το "κορώνα-γράμματα", ας διαβάσουν τον πίνακα του Χάους, ή έστω την περίληψη που υπάρχει εδώ

9 σχόλια:

  1. Καλημέρα..Κατερίνα...καλά που κάνεις αναρτήσεις και μου θυμίζεις ότι υπάρχουν βιβλία στην βιβλιοθήκη μας που πρέπει επιτέλους να διαβαστούν :τα έχω και τα δύο και τους 'Μυστικούς αριθμούς"και τον "Πίνακα του χάους" του Μάντελμπροτ ένα βιβλίο που μπορεί να μας δώσει μια ιδέα της ..κρίσης που βιώνουμε και πωα αυτή παράχθηκε μέσα στα χρηματιστήρια...!Καλύτερα να ψάχνουμε στις βιβλιοθήκες μας και ενίοτε να ...ξαναδιαβάζουμε βιβλία που αξίζουν ..παρά..ν'αγοράζουμε..απούλητα stock..από τις Λαικές βιβλίων και να έχουμε και την ψευδαίσθηση ότι το αγοράζουμε και φτηνά!
    Καλό ΣΚ:)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλή σου μέρα Αστέριε.
      Διάβασέ τα, αν δεν τα έχεις διαβάσει, για να είσαι έτοιμος να διαβάσεις και την αυτοβιογραφία του, όταν θα κυκλοφορήσει. Ελπίζω σύντομα... :)
      Καλό ΣΚ και σε σένα.

      Διαγραφή
  2. Καλή εβδομαδα Κατερίνα! Νομιζω οτι δεν πρεπει να εντυπωσιαζεσαι απο το γεγονος οτι οι σημερινοι μαθητες δεν γνωριζουν τι ειναι τα φρακταλ!! Να σκεφτεις οτι εχω γνωρισει και συναδερφους εν ενεργεια που διδασκουν και δεν γνωριζουν οχι μονο τι ειναι τα φρακταλ αλλα ουτε καν τι ειναι η χρυση τομη!!! Και φυσικα δεν φταινε μονο οι ιδιοι αλλα και το συστημα που "επιτρεπει" να γινει καποιος μαθηματικος κατα λαθος αφου μπορει να γραψει στις πανελληνιες πολυ κατω απο την βαση στα μαθηματικα και παρ'ολ'αυτα να γινει μαθηματικος!!! Οσον αφορα το βιβλιο του Μαντελμπορτ "ο πινακας του χαους" το εχω διαβασει προ ετων και παρα το οτι ειναι πρωτοποριακο για την εποχη που γραφτηκε ειναι λιγακι κουραστικο γιατι επαναλαμβανεται σε πολλα σημεια!
    Δαμιανος.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Καλή σου μέρα Δαμιανέ και καλή εβδομάδα.
    Αναφέρω το γεγονός της άγνοιας των μαθητών. Δεν εντυπωσιάστηκα που δεν γνώριζαν τα φράκταλ. Από την άλλη πλευρά, η παρατήρησή σου σχετικά με τις γνώσεις πολλών εξ ημών ενισχύει τη δική μου παρατήρηση για το πόσο λειτουργικά είναι τα Μαθηματικά που διδάσκουμε στους μαθητές μας. Δεν είναι. Έχουμε εγκλωβιστεί στην τυπολατρία με την οποία κι εμείς γαλουχηθήκαμε. Το φαινόμενο δεν είναι τοπικό. Στην 5η Μ.Ε. η εισήγηση της Ιόλης Γεωργιάδου, ελληνίδας της Κωνσταντινούπολης, που διδάσκει στο Ζωγράφειο Λύκειο καταδείκνυε έναν εξίσου ατέρμονο τυπολατρισμό και στο Τουρκικό εκπαιδευτικό σύστημα. Το πρόβλημα είναι γενικότερο και δεν νομίζω πως είναι από τα προβλήματα που μπορούν, για πολλούς και διάφορους λόγους, να επιλυθούν.

    Το βιβλίο του Benoir Manderlbrot έχει δομή ερευνητικής εργασίας και η επανάληψη είναι ένα βασικό στοιχείο σε τέτοια κείμενα. :)

    Ελπίζω να τα πούμε κι από κοντά. (Ή - ακόμη καλύτερα - να βρεθούμε στο ίδιο σχολείο, για να αξιοποιήσει ο ένας τις δεξιότητες και τις γνώσεις του άλλου :) )

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Δυστυχως την εισηγηση της Ιολης Γεωργιαδου την προλαβα ελαχιστα προς το τελος της αλλα ειμαι σιγουρος οτι και στο εξωτερικο αντιμετωπιζουν παρομοια προβληματα.

    Και εγω ελπιζω, ευχομαι και επιδιωκω να βρεθουμε στο ιδιο σχολειο αλλα δυστυχως οταν βρισκεσαι στην (καλη) διαθεση του ΠΥΣΔΕ μπορεις να βρεθεις ακουσια οπουδηποτε!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Τώρα που θα καταργηθεί η οργανική μου, θα είμαι και εγώ στην (καλή) διάθεση και στην ευαρέσκεια του ΠΥΣΔΕ, επίσης.
      Φέτος στις τοποθετήσεις μας θα συντελεστούν "βιβλικές" αλλαγές.
      Μάλλον θα πρέπει να κάνουμε το ... σταυρό μας, αναμένοντας τις εξελίξεις!

      υ.γ. και εννοείται πως στο προηγούμενο μήνυμα εννοούσα "τυπολατρεία" κι όχι "τυπολατρία"....

      Διαγραφή
  5. Αν λαβουμε υπ' οψη μας οτι ηδη ειμαστε καμια 60αρια μαθηματικοι που αναμενουμε βελτιωση, οριστικη τοποθετηση κτλ, και θα προστεθουν και οσοι ερθουν με μεταθεση σιγουρα θα συντελεστουν "βιβλικες" αλλαγες!!! Αν τα παραπανω συνδυαστουν και με επικειμενη αυξηση 10% του ωραριου μας (που συνεπαγεται μειωση 10% των οργανικων) καθως και συγχωνευσεις σχολειων τοτε ο Σετεμβρης αναμενεται να ειναι πιο "θερμος" και απο τον Αυγουστο!!!
    Επομενως πρεπει να κανουμε τον ...σταυρο μας πριν βρεθουμε στον Σταυρο κουβαλωντας τον σταυρο μας!!!

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  6. Κυρία Καλφοπούλου,καλησπέρα και συγχαρητήρια για το ιστολόγιό σας! Με ενθουσιάζει η αρχή της τετραχρωμίας στο προφίλ σας :-) (αλλά γιατί στα εγγλέζικα;). Τα άρθρα σας είναι φανταστικά και συνδυάζουν μαθηματική καθαρότητα και λογοτεχνική φλέβα και ευαισθησία.
    Χωρίς να θέλω σε καμία περίπτωση να κάνω τον ξύπνιο σε επαγγελματίες λειτουργούς του πνεύματος (ο ίδιος είμαι τεχνικός, με κάποια ικανοποιητική -απότι λέγεται δηλαδή- γνωση αυτού που ο πολύς κόσμος εσφαλμένα αποκαλεί "ανώτερα μαθηματικά"..λες και υπάρχουν ανώτερα και κατώτερα...τελος πάντων ,αλλη μεγάλη κουβέντα αυτό)το βασικό πρόβλημα των μαθητών σας υποθέτω ότι δεν είναι ότι δεν ξέρουν τι είναι οι αυτομορφές/μορφοκλάσματα (fractals) αλλά ότι δεν ξέρουν (δηλαδή δεν έχουν εμβαθύνει) τι είναι διάσταση! Από κει ξεκινούν όλα και δεν χρειάζεται καμιά σπουδαία εμβάθυνση , ξέρω γω του στυλ να μάθουν τι είναι η διάσταση Χάουσντορφ κλπ. Αρκεί ένα ισόπλευρο τριγωνάκι και η γνωστή διαδικάσία που παράγει την καμπύλη του Κοχ (τη "χιονονιφάδα") που οδηγεί με απλούς υπολογισμούς(για την περίμετρό της και το εμβαδόν της) στην κατανόηση της έννοιας της δεκαδικής διάστασης ,που είναι και η ουσία του φρακταλικού κόσμου.
    Παρακαλώ ,μην το πάρετε σαν υπόδειξη,δεν είναι! Μια απλή πρόταση είναι, από τη μικρή προσωπική μου διδακτική εμπειρία σαν πατέρας μαθήτριας Β'Δημοτικού και σαν περιστασιακός δάσκαλος σε φοιτητές πολυτεχνείου.Και κυρίως ,ενθυμούμενος ότι και γω ο ίδιος μόνο τότε (ερχόμενος αντιμέτωπος με τα fractals) κατανόησα σε βάθος τι σημαίνει διάσταση. Θυμάμαι ότι (τελειόφοιτος του Ε.Μ.Π ήδη, δεν με παραξένεψε πράγμα περισσότερο και δεν μου φάνηκε πιο ακατανόητο ,απότι το να ακούσω ότι υπάρχουν δεκαδικές διαστάσεις (και μάλιστα και αδιευκρίνιστες ως προς τον ακριβή αριθμό τους τέτοιες!)
    Keep up the good work!
    Γιώργος Ριζόπουλος, Λεμεσός

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  7. Καλησπέρα κύριε Ριζόπουλε.
    Σας ευχαριστώ πολύ για τα τόσο καλά σας λόγια.
    Και για το εκτενές σχόλιο.
    Δεν έχετε άδικο στο ότι οι μαθητές δεν κατανοούν την έννοια της διάστασης. Το έχω παρατηρήσει. Και δεν μιλώ για τις δεκαδικές διαστάσεις, αλλά για τις ακέραιες :)
    Στην Α' Λυκείου, όταν ξεκινά η χρονιά, όποτε ρωτώ στα τμήματα που μπαίνω το αυτονόητο "σε πόσων διαστάσεων χώρο ζούμε;", μόνο ένα μικρό, ελάχιστο θα έλεγα, ποσοστό απαντά "τριών". Το αυτονόητο δεν είναι αυτονόητο για τους μαθητές. Ειδικά όταν δεν είναι επαρκώς "δουλεμένοι" είτε από το Γυμνάσιο, είτε από το ίδιο τους το σπίτι...
    Από την άλλη το Αναλυτικό Πρόγραμμα επικεντρώνεται σταθερά στους κλασικούς φορμαλισμούς, χωρίς να αφήνει περιθώρια για θεματική "εκσυγχρόνιση" της διδασκαλίας. Σκεφτείτε ότι η καμπύλη Κοχ, που ήταν στο βιβλίο της Β' Λυκείου και από πέρυσι μεταφέρθηκε στης Α', παραμένει σταθερά εκτός ύλης!!!
    Μας φεύγει μεγάλο μέρος της χρονιάς με την παραγοντοποίηση και τις ταυτότητες, που υποτίθεται ότι συμπληρώνουμε από το Γυμνάσιο και τις οποίες διδάσκουμε εντελώς συμβολικά και χωρίς κανένα αναφορικό πλαίσιο.
    Κάτι πήγε να γίνει με τις ερευνητικές εργασίες που καθιερώθηκαν πέρυσι, αλλά δεν αρκεί όπως φαίνεται.

    Να είσαστε καλά.
    Και πάλι ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια.

    ΑπάντησηΔιαγραφή