Παρασκευή, 22 Μαρτίου 2013

ΟΙ ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ... ΚΑΙ ΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ...

Παίζοντας με το GeoGebra, μετρώ τις διαστάσεις της ζωής μου...

Εδώ και μέρες διαβάζω "τα Μαθηματικά της ζωής, ξεκλειδώνοντας τα μυστικά της ύπαρξης"...
Τα μελετώ και εμμένω σε διάφορα σημεία, αναζητώντας στη γλωσσική πολυσημία τις διαστάσεις που αρκούν, για να περιγράψουν σαφώς και πλήρως το ζωτικό μου χώρο. Με μια, μάλλον, προσποιητή σοβαρότητα εισάγω και εξάγω διαστάσεις, γράφοντας και σβήνοντας αριθμούς [και e-φίλους στο facebook...]. Στην πράξη όμως δεν κάνω κάτι πέρα από το να κλέβω τρελές ιδέες από μεγάλους μαθηματικούς, αλλά αυτοί...

...οι μαθηματικοί δεν εισήγαγαν τους χώρους πολλών διαστάσεων για να διασκεδάσουν ή για να εντυπωσιάσουν τον κόσμο. Το έκαναν επειδή τους χρειάζονταν. Μέχρι τα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα διάφορες εξελίξεις, τροφοδοτούμενες από την καθαρή γεωμετρία μέχρι την ουράνια μηχανική, φαίνονταν να υποδεικνύουν μια καινούρια ιδέα. Την ίδια περίπου εποχή, οι φυσικοί άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι πολλές βασικές ανακαλύψεις έβγαζαν περισσότερο νόημα αν οι εξισώσεις τους διατυπώνονταν μέσα σε έναν "χωρόχρονο" τεσσάρων διαστάσεων: τις τρεις παραδοσιακές διαστάσεις του χώρου, συν μία επιπλέον, του χρόνου. Όμως, ο χρόνος δεν ήταν η τέταρτη διάσταση, αλλά απλώς μια δυνατότητα.
Με λίγα λόγια: διάσταση ενός χώρου είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων συντεταγμένων που απαιτούνται για να προσδιορίσουμε τα πράγματα που ανήκουν σε αυτόν. Χώροι με πολλές διαστάσεις παρέχουν ένα βολικό τρόπο για περιγραφή συστημάτων στα οποία πολλές διαφορετικές μεταβλητές μπορούν να πάρουν όποια τιμή θέλουμε. Ο "χώρος" όλων αυτών των επιλογών διαθέτει μια φυσική δομή - που προκύπτει από την άμεση γενίκευση των οικείων μαθηματικών των δύο και τριών διαστάσεων. Πιο συγκεκριμένα, μπορούμε να προσδιορίσουμε πότε σε έναν τέτοιο χώρο δύο "σημεία" βρίσκονται  το ένα κοντά στο άλλο: οι αντίστοιχες μεταβλητές τους θα πρέπει να έχουν παραπλήσιες τιμές.
Επιπλέον, τα "σημεία" δεν χρειάζεται να είναι πραγματικά 'σημεία'. Το επίπεδο είναι ένα σύνολο σημείων, αλλά μπορεί να εκληφθεί και ως μια συλλογή ελλείψεων. Το σύνολο όλων των ελλείψεων στο επίπεδο συνιστά από μόνο του ένα ενδιαφέρον μαθηματικό αντικείμενο. Πώς μπορεί κανείς να προσδιορίσει μια έλλειψη; Ας το κάνουμε στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας, όπου οι εικόνες είναι πιο οικείες. Πρέπει να γνωρίζουμε: 

  • πού βρίσκεται το κέντρο της έλλειψης (2 αριθμοί)
  • πόσο επιμήκης είναι (1 αριθμός)
  • πόσο πλατιά είναι (1 αριθμός)
  • τη γωνία κατά την οποία είναι κεκλιμένη (1 αριθμός).
     Επομένως, απαιτούνται συνολικά πέντε αριθμοί για να προσδιορίσουμε μια έλλειψη (βλ. Σχήμα 30).
    Ο "χώρος" των ελλείψεων είναι πενταδιάστατος. Και είναι χώρος, με την έννοια ότι αν αλλάξουμε ελαφρώς τους αριθμούς που αναπαριστούν μια συγκεκριμένη έλλειψη, παίρνουμε μια άλλη έλλειψη που βρίσκεται "κοντά" και μοιάζει πολύ με την αρχική. Και όσο μικρότερες είναι οι μεταβολές, τόσο περισσότερο μοιάζουν.
    Από μια άποψη, το επίπεδο είναι δισδιάστατο. Από μια άλλη, είναι πενταδιάστατο. Σε κάθε περίπτωση μιλάμε για το ίδιο επίπεδο, επομένως δεν έχει νόημα να ισχυριζόμαστε ότι ο χώρος είναι δισδιάστατος αλλά όχι πενταδιάστατος. Πρόκειται για δύο πτυχές του ίδιου πράγματος. Αν εξαιρέσουμε την εξοικείωση και την παράδοση, δεν υπάρχει κανένας βάσιμος μαθηματικός λόγος για τον οποίο πρέπει να προτιμούμε το σύνολο των σημείων από το σύνολο των ελλείψεων. Ποια άποψη είναι καλύτερη, εξαρτάται από το ερώτημα που θέτουμε.
    -----------------------------------------------------------------------------------------
    Άρα το ερώτημα που θέτουμε είναι: ποιο ερώτημα θέτουμε;
    Ή αλλιώς πόσων και ποιων διαστάσεων είναι το ερώτημα που θέτουμε; 
    Αποτελεί άραγε το "βάθος" μια από τις διαστάσεις του ή μήπως εξαντλείται η προσπάθεια στην "αβάσταχτη ελαφρότητα του είναι";
    Από την άλλη, τα "σημεία" πώς τα ορίζουμε;
    Προβληματίζομαι ... Επιχειρώντας να περιγράψω με κλεμμένες μαθηματικές ιδέες τη ζωή μου θυμήθηκα την Χαρούλα και το "η ζωή μου κύκλους κάνει..."
    Φτάνει..φτάνει...φτάνει! :) Τέλος! 
    Επιλέγω τα σημεία του επιπέδου της ζωής μου να είναι κύκλοι, αλλά όχι αυτοί οι περιπαθείς κύκλοι  της Χαρούλας, επειδή δεν μου ταιριάζουν. 
    Επιλέγω τους άλλους κύκλους, τους ορθόδοξους... Αυτούς που αρκούν τρεις μόνο αριθμοί για να τους περιγράψουν: δύο για το κέντρο τους κι ένας για την ακτίνα τους! Τριάδα...κυκλ-άδελφος!
    Επιλέγω τους κύκλους, ως ειδική περίπτωση της έλλειψης, και γλυτώνω την "κλίση"!

    Και επιλέγω τους κύκλους των φίλων και τους κύκλους των γνωστών και των φιλαναγνωστών ως σημεία αναφοράς σε μια διάσταση χαράς!

    "...οι μαθηματικοί δεν εισήγαγαν τους χώρους πολλών διαστάσεων για να διασκεδάσουν ή για να εντυπωσιάσουν τον κόσμο" γράφει ο Ian Stewart στη σελίδα 239 του βιβλίου του "Τα μαθηματικά της ζωής"
    Εγώ όμως καταφεύγω στους χώρους των πολλών διαστάσεων, ξανά και ξανά, προσπαθώντας να χαθώ στις σελίδες του βιβλίου του Ian Stewart, για να διασκεδάσω και να εντυπωσιαστώ..
    Ή για να ξεχάσω τις ελλείψεις, τα σημεία των καιρών,  και να ξεχαστώ.
    Αλλά ΔΕΝ ξεχνάω και μελαγχολώ...



    8 σχόλια:

    1. Μαζί σου ,
      στους κύκλους των αναζητητών και των ερωτημάτων γιάυτά που μας ολοκληρώνουν
      και γ'αυτά που μας ελ-λείπουν.
      Αχ! νάχα τη γραφή να αποτυπώσω
      αυτά που σκέφτομαι κι αυτά που νοιώθω ,
      μα ευτυχώς υπάρχεις εσύ αντί εμού να γράφεις .....

      ΑπάντησηΔιαγραφή
      Απαντήσεις
      1. Καλή σου μέρα, Δάσκαλε!
        Σ' ευχαριστώ για την - όπως πάντα - ουσιαστική ενθάρρυνση...

        Διαγραφή
    2. Νομίζω με ένα τσιπουράκι, στα πλαίσια της μαθηματικής εβδομάδας ο "δάσκαλος" μπορεί να βρει τις ερωτήσεις (οι απαντήσεις δεν έχουν πάντα σημασία). Αλλά, και η ... δασκάλα καλό είναι να συνεχίσει να γράφει για αυτήν, για εμένα και φαντάζομαι και για άλλους. Τα μαθηματικά είναι μόνο η αρχή...

      ΑπάντησηΔιαγραφή
      Απαντήσεις
      1. Συμφωνώ πως τα Μαθηματικά είναι η .... μόνη Αρχή! :) :)
        Το σαββατόβραδο, μετά το στρογγυλό τραπέζι, τσίπουρο;
        Τέλεια, κάποτε θα πρέπει να χαλαρώσουμε..
        (μόλις τέλειωσα με τις διορθώσεις του ppt)

        Διαγραφή
    3. Καλησπέρα Κατερίνα..."Την ίδια περίπου εποχή, οι φυσικοί άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι πολλές βασικές ανακαλύψεις έβγαζαν περισσότερο νόημα αν οι εξισώσεις τους διατυπώνονταν μέσα σε έναν "χωρόχρονο" τεσσάρων διαστάσεων: τις τρεις παραδοσιακές διαστάσεις του χώρου, συν μία επιπλέον, του χρόνου. Όμως, ο χρόνος δεν ήταν η τέταρτη διάσταση, αλλά απλώς μια δυνατότητα."
      Δυνατότητα..χμ...η αλήθεια είναι ότι δεν μου αρέσει αυτή η λέξη :)Προτιμώ τη λέξη διάσταση....μου είναι πιο οικεία...και μην ξεχνάμε ότι ο "χωρόχρονος" είναι κατασκεύασμα ενός Ρειμάνιου χώρου..και όχι Ευκλείδιου...δεν υπάρχουν ευθείες στον Ρειμάνιο χώρο..μόνο καμπύλες..επομένως τοπολογικά-κάνω και τον Μαθηματικό :)-ο χρόνος είναι η τέταρτη διάσταση..μιας και ο "χωρόχρονος" είναι ενιαίο σύστημα..δεν νοείται στον Ρειμάνιο χώρο ..στον σύμπαν μας χωριστά ο χώρος ..από τον ..χρόνο...Η λέξη δυνατότητα αισθάνομαι ότι προσπαθεί..να διαχωρίσει τον τετραδιάστατο..."χωρόχρονο"....!Διόρθωσε με .:)
      Καλό τριήμερο..!

      ΑπάντησηΔιαγραφή
      Απαντήσεις
      1. Να σε διορθώσω; Δύσκολο, Αστέριε :)
        Δεν ξέρω αν υπάρχει σωστό και λάθος σε αυτά τα θέματα...

        Έγραψα τόσες αράδες διερευνώντας τις δικές μου διαστάσεις και κατέληξα στο συμπέρασμα πως μου αρέσει το τρισδιάστατο επίπεδο, όπου τα σημεία είναι οι κύκλοι των φίλων μου.... :)
        Θα μπορούσε, άραγε, κάποιος να με διορθώσει λέγοντας πως το ευκλείδειο επίπεδο είναι δισδιάστατο; Αν το έκανε θα του απαντούσα πως είναι θέμα προσωπικής επιλογής...
        Άλλωστε κι εγώ τον χρόνο ως δυνατότητα τον εκλαμβάνω, ως δυνατότητα βελτίωσης :)
        Καλό τριήμερο, φίλε μου!

        Διαγραφή
    4. Ο υπερκύβος σου στην πρώτη εικόνα μου έφερε στο μυαλό τον πίνακα Crucifixion (Corpus Hypercubus) του Salvador Dali.

      ΑπάντησηΔιαγραφή
      Απαντήσεις
      1. Χαίρομαι που η ανάρτησή μου παραπέμπει στην Τέχνη!
        (κι εγώ όταν βλέπω "τετραδιάστατα" Dali φέρνω στο μυαλό μου...)
        Καλή σου μέρα Κώστα.

        Διαγραφή