Σάββατο, 31 Δεκεμβρίου 2011

ΠΟΛΛΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΚΑΛΟ ΤΕΡΜΑΤΙΣΜΟ!

"Καθένας έχει το δικά του γούστα. Σε κάποιους ταιριάζει ο μαραθώνιος, σ' άλλους το γκολφ και σ' άλλους ο τζόγος. Όποτε βλέπω μαθητές την ώρα της γυμναστικής να ετοιμάζονται να λάβουν μέρος σε αγώνα δρόμου τους λυπάμαι. Να εξαναγκάζεις κάποιον που δεν έχει όρεξη ή δεν διαθέτει την απαραίτητη σωματική κατάσταση να τρέξει, είναι μια μορφή ανώφελου βασανιστηρίου. Πάντοτε συμβουλεύω τους καθηγητές να μην πιέζουν όλους τους μαθητές ανεξαιρέτως να τρέχουν, αλλ' αμφιβάλλω αν θα μ' ακούσει κανείς. Έτσι είναι τα σχολεία. Το πιο σημαντικό πράγμα που μαθαίνουμε ποτέ στο σχολείο είναι ότι τα πιο σημαντικά πράγματα δεν γίνεται να τα μάθουμε στο σχολείο."

Γράφει ο Χαρούκι Μουρακάμι στο καινούριο του βιβλίο "ΓΙΑ ΤΙ ΠΡΑΓΜΑ ΜΙΛΑΩ ΟΤΑΝ ΜΙΛΑΩ ΓΙΑ ΤΟ ΤΡΕΞΙΜΟ", από τις Εκδόσεις Ωκεανίδα, το οποίο αγόρασα χθες κι άρχισα  να το διαβάζω αργά το βράδυ, έτσι για να κάνω ένα ευχάριστο διάλειμμα από τις ποικίλες υποχρεώσεις που-άλλοτε ευχάριστα κι άλλοτε καταναγκαστικά-γεμίζουν ασφυκτικά την καθημερινή μου ρουτίνα.
Και με απορρόφησε, όχι μόνο επειδή πάντα με απορροφά ο Μουρακάμι ( Μετά τον Σεισμό, Νορβηγικό Δάσος και ξανά) και αποτελεί ένα καταφύγιο διαφυγής από τα τετριμμένα, αλλά γιατί, διαβάζοντας λαίμαργα τις σελίδες του, διαπίστωσα πως για να μιλήσουμε για το πλέον απλό και αυτονόητο θέμα Χ, αν πράγματι θέλουμε να είμαστε σαφείς, ξεκάθαροι και ειλικρινείς, πρέπει να εξηγήσουμε επί μακρόν, όπως κάνει εδώ ο Μουρακάμι, για ποιο θέμα Χ, έχουμε σκοπό  να μιλήσουμε..

"Να γράφω με ειλικρίνεια για το τρέξιμο και να γράφω με ειλικρίνεια για τον εαυτό μου, είναι σχεδόν το ίδιο πράγμα. Επομένως υποθέτω ότι αυτό το βιβλίο μπορεί να διαβαστεί και ως μια αυτοβιογραφία επικεντρωμένη στο τρέξιμο", γράφει στον πρόλογο του βιβλίου του ο Χαρούκι Μουρακάμι.
Κι ενώ προετοιμάζει τον αναγνώστη του πως ό,τι πρόκειται να γράψει είναι κυριολεκτικό και δεν θα πρέπει να εκληφθεί ως μεταφορά, εν τούτοις, κάθε γραμμή που διάβαζα ωθούσε το μυαλό μου σε υποσυνείδητους συνειρμούς και συσχετίσεις του μαραθώνιου με την ίδια τη ζωή.

"Καθώς τρέχω", γράφει ο Μουρακάμι, "λέω στον εαυτό μου να σκεφτεί ένα ποτάμι. Και σύννεφα. Αλλά στην πραγματικότητα δεν σκέφτομαι τίποτα. Το μόνο που κάνω είναι να τρέχω ασταμάτητα μες στο δικό μου, οικείο, χειροποίητο κενό, την δική μου προσωπική νοσταλγία. Κι αυτό είναι υπέροχο. Ας λένε ό,τι θέλουν".

Ποτάμια και σύννεφα όμως δεν σκέφτεται σε καμιά περίπτωση αυτός ο μεγάλος συγγραφέας  καθώς τρέχει στη Λεωφορο Μαραθώνος.. Εκεί περιγράφει με λεπτομέρειες, πέρα από όσα αισθάνεται και όλα όσα βλέπει...Ανάμεσα στα άλλα  τα κουφάρια των ζώων, στην άσφαλτο..
"Σε διαπερνάει, όσο να' ναι, ένα αδιόρατο άρωμα ιστορίας σ' ένα δρόμο που έχει το όνομα του Μαραθώνα..", γράφει ο Μουρακάμι, αλλά προσγειώνει αμέσως τον αναγνώστη περιγράφοντας το πρώτο κουφάρι ζώου που συναντά στο διάβα του.
"Ένα μεγάλο καφετί σκυλί. Δεν βλέπω τίποτα εξωτερικές πληγές. Είναι απλώς ξαπλωμένο στη μέση του δρόμου. Θα είναι κανένα αδέσποτο που το χτύπησε κάποιο αυτοκίνητο τρέχοντας μες στη νύχτα. Το σώμα του δείχνει ακόμη ζεστό, γι' αυτό δεν φαίνεται νεκρό. Πιο πολύ μοιάζει να κοιμάται. Οι οδηγοί των φορτηγών που το προσπερνούν σαν βολίδες δεν του ρίχνουν ούτε μια ματιά.
Λίγο παρακάτω περνάω δίπλα από μια γάτα λιωμένη από αυτοκίνητο. Η γάτα είναι εντελώς πλάκα, σαν στραβοχυμένη πίτσα,  και κατάστεγνη. Θα πρέπει να πέρασαν από πάνω της πριν απο αρκετή ώρα.
Για τέτοιο δρόμο μιλάμε. [...]
Η καταμέτρηση των πτωμάτων όλων εκείνων των καημένων ζώων που έχασαν τη ζωή τους στη λεωφόρο Μαραθώνος τη συγκεκριμένη μέρα είναι τρία σκυλιά κι έντεκα γάτες. Τα μέτρησα όλα, κι αυτό μου' φερε λίγο κατάθλιψη."

Γιατί από όλο το βιβλίο, με τις άκρως αισιόδοξες παραγράφους και τις ενδιαφέρουσες αποκαλύψεις για τη ζωή του Μουρακάμι, αλλά και τη ζωή εν γένει, εγώ επέλεξα να γράψω τις παραγράφους που μιλούν για απομεινάρια νεκρών ζώων στην άσφαλτο και προκαλούν κατάθλιψη, νομίζω πως είναι ξεκάθαρο, όσο ξεκάθαρος είναι και ο τίτλος της ανάρτησής μου..
Τις διάλεξα επειδή πιστεύω πως για να φτάσουμε στο τέρμα του μαραθώνιου, αυτού που μας επιβάλλουν οι οικονομικο-κοινωνικο-πολιτικές συνθήκες, όση κατάθλιψη κι αν μας προκαλούν, θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε για ποιο πράγμα μιλάμε και να μετρήσουμε ένα προς ένα όλα τα κουφάρια που πρέπει να αφήσουμε πίσω μας.
Εύχομαι να τα καταφέρουμε..Εύχομαι να τερματίσουμε, με όσο το δυνατόν λιγότερα θύματα,  σ' αυτόν τον αγώνα δρόμου που επιβάλλουν σε όλους μας, χωρίς  να μετρούν τις αντοχές μας και τις δυνάμεις μας. Μας τον επιβάλλουν όπως ακριβώς κάνουν οι καθηγητές στο σχολείο,  όταν πιέζουν όλους τους μαθητές ανεξαιρέτως να τρέχουν ... Όλους! Ανεξαιρέτως!
Μακάρι όμως να ήταν  στη ζωή τα πράγματα τόσο εύκολα όσο είναι τελικά στο σχολείο.

Καλή δύναμη σε όλους μας και αντοχές για έναν καλό κι επιτυχή τερματισμό..









Σάββατο, 17 Δεκεμβρίου 2011

ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ "ΔΙΔΑΣΚΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ";

Πέρασαν δεκατρείς μήνες από τότε που  ο σχολικός μου σύμβουλος, Γιάννης Θωμαΐδης, μου πρότεινε να σχεδιάσουμε μια διδακτική παρέμβαση στα πλαίσια του μαθήματος της Α' Λυκείου. Γνωριζόμασταν ήδη αρκετά χρόνια πριν, λόγω της Λέσχης Ανάγνωσης Ενηλίκων, στην οποία συμμετείχαμε αμφότεροι και στα πλαίσια της οποίας συναντιόμασταν μια φορά το μήνα, οπότε είχα τη δυνατότητα, πριν ακόμη πάρω μετάθεση στη Διεύθυνση Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Δυτικής Θεσσαλονίκης, όπου είναι το σπίτι μου, αλλά και η έδρα του, να ζητώ τη γνώμη του για τις διάφορες δραστηριότητες στην τάξη μου ή να του μεταφέρω το κλίμα από μια διδασκαλία ή -κι αυτό είναι το σημαντικότερο ίσως- να του ζητώ ιδέες και υλικό για να σχεδιάσω μη τετριμμένες διδακτικές προσεγγίσεις. Για ευνόητους λόγους δεν θα αναλύσω εδώ το ότι η πολυετής εμπειρία του, οι  γνώσεις του, η συνεχής του κατάρτιση, αλλά κυρίως η προθυμία του και η ικανότητά του να συνεργάζεται με τους εκπαιδευτικούς και να υποστηρίζει την προσπάθειά τους είναι απαράμιλλες, γιατί θα ξεφύγω από το θέμα μου που είναι η σχολική παρέμβαση,την οποία τελικά υλοποιήσαμε, επιτυχώς θεωρώ, στις 15 Φεβρουαρίου του 2011, στο Λύκειο που δίδασκα. Και, για να είμαι απολύτως ακριβής, θα πρέπει να πω ότι δεν σκοπεύω να εστιάσω ούτε και στη διδακτική παρέμβαση αυτή καθαυτή, η οποία παρουσιάστηκε, άλλωστε, στο 28ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. (και θα μπορούσατε, αν θέλετε, να διαβάσετε τα πρακτικά πατώντας εδώ).
Το σημείο στο οποίο θέλω να σταθώ, ο λόγος δηλαδή που γράφω σήμερα τα όσα γράφω εδώ, έχει να κάνει με τις ενστάσεις και τις απορίες που διατυπώθηκαν από δύο ή τρεις συναδέλφους στο mathematica.gr, οι οποίοι, για διάφορους λόγους, αμφισβήτησαν τη χρησιμότητα ή τη νομιμότητα ή την ορθότητα, πιθανόν δε και το σύνολο ακόμη, της εν λόγω δραστηριότητας. Μετά από κάποιες διευκρινίσεις που έκανα, απαντώντας στα σχόλια των συναδέλφων, (εδώ και εδώ), φάνηκε πως οι ενστάσεις αποσύρθηκαν και οι τυχόν παρανοήσεις ξεπεράστηκαν. Ωστόσο, συνεχίζω το θέμα επειδή θέλω να ευχαριστήσω τους συναδέλφους, γιατί με την αντίδρασή τους μου έδωσαν την ευκαιρία  να ασχοληθώ ξανά με το "ανοιχτό πρόβλημα" του τι σημαίνει "διδάσκω Μαθηματικά"!
 Αλήθεια τι σημαίνει "διδάσκω Μαθηματικά"; Πολύ θα ήθελα να μου απαντήσετε.
Προσωπικά πιστεύω πως αν ρωτήσουμε δέκα ενεργούς εκπαιδευτικούς,  δέκα μαθηματικούς της τάξης δηλαδή, 'τι σημαίνει διδάσκω Μαθηματικά;", πιθανόν να πάρουμε, συνολικά, περισσότερες από δέκα απαντήσεις! Κι αυτό γιατί ο καθένας που θα δώσει αυθόρμητα μιαν  απάντηση, σε μια δεύτερη σκέψη, μάλλον, θα θελήσει να  συμπληρώσει κάτι ή να διορθώσει κάτι άλλο..Αμφιβάλλετε γι' αυτό; Αν αμφιβάλλετε για κάτι, δεν έχετε παρά να κάνετε ένα πείραμα.. :))
Το "διδάσκω Μαθηματικά", σε μια εντελώς αφελή του ερμηνεία, μπορεί να σημαίνει ότι γράφω, ας πούμε, στο Βιβλίο Ύλης τις σελίδες,  τις παραγράφους, τις ασκήσεις του σχολικού εγχειριδίου που πραγματεύτηκα τη διδακτική ώρα που μόλις τέλειωσε! Όμως το "διδάσκω Μαθηματικά", το ξέρουμε όλοι, δεν είναι ούτε μετρήσιμο, ούτε και "καταγράψιμο"!
Επειδή αν ήταν μετρήσιμο και καταγράψιμο, τότε θα ήταν "ελέγξιμο" κι άρα θα επιδέχονταν διορθώσεων. Αλλά εδώ και πολλά χρόνια, όλοι αυτοί που ασχολούνται με αυτά δεν έχουν βρει τρόπους, μεθόδους και κανόνες που να επιφέρουν ένα σημαντικό και καθολικό αποτέλεσμα.
Αν κάτι τέτοιο είχε συμβεί, θα είχαν όλα λυθεί και δεν θα είχαμε λόγο να συζητάμε τώρα εμείς τις απόψεις μας και τις αντιπαραθέσεις μας, αλλά ούτε ο N. Balacheff δεν θα είχε λόγο να γράψει σε ένα άρθρο του, που είναι δημοσιευμένο στη Μαθηματική Επιθεώρηση, τεύχ. 28, ότι "..το πιο κτυπητό γεγονός είναι ότι σ' όλα τα κράτη του κόσμου και σ' όλες τις εποχές οι μαθητές κάνουν τα ίδια λάθη στην Αριθμητική, στην Άλγεβρα και στη Γεωμετρία.." και δε θα δημοσιεύε τα ευρήματα μιας έρευνας που έγινε το ... 1909!!! Έχει πολύ ενδιαφέρον, γι'αυτό παραθέτω φωτογραφικό ντουκουμέντο, ώστε να δείτε προσεκτικά τα λάθη που καταγράφονται, εκατό χρόνια πριν...


Το 28ο τεύχος  της Μαθηματικής Επιθεώρησης που περιέχει το άρθρο του Balacheff κυκλοφόρησε το 1985! Εκείνη την εποχή εγώ ήμουν ακόμη φοιτήτρια,  στο Πανεπιστήμιο των Ιωαννίνων!
Και τι δεν έχει αλλάξει από τότε; Ακόμη και το κτίριο που στέγαζε το Πανεπιστήμιο μας  καταστράφηκε, είναι πια εκτός λειτουργίας! Το επισκέφτηκα πρόσφατα και, στη θέα του ερειπίου που απέμεινε, μαύρισε η ψυχή μου. Τίποτα δεν παραμένει ίδιο στο πέρασμα του χρόνου, εκτός ίσως από...τα λάθη που αναφέρονται στο παραπάνω άρθρο. Αυτά, τα ίδια λάθη, τα συναντώ, όπως και οι περισσότεροι από σας, σε ένα ποσοστό συχνά πάνω από το 50% των μαθητών της Α' Λυκείου, που συναναστρέφομαι καθημερινά. 
Κι αναρωτιέμαι και πάλι: Τι σημαίνει "διδάσκω Μαθηματικά";
Μήπως σημαίνει ότι αποδέχομαι απλά πως τα περισσότερα παιδιά δεν κατανοούν τους κανόνες της Άλγεβρας ή -όπως είχε σχολιάσει κάποιος αναγνώστης παλιότερα στο blog μου- αποδέχομαι πως τα Μαθηματικά δεν είναι τελικά για όλους;
 Ή μήπως σημαίνει ότι, καθώς εκ των πραγμάτων ως εκπαιδευτικός της τάξης εμπλέκομαι σε όλην αυτήν τη διαδικασία, δεν εφησυχάζομαι, δεν επαναπαύομαι, αλλά αναζητώ συνεχώς τα πιθανά αίτια που προκαλούν τις παρανοήσεις, για να μπορώ βάσει αυτών των αιτίων να επιλέξω και να διαμορφώσω διαφορετικές διδακτικές πρακτικές, μήπως  καταφέρω, τελικά, να αλλάξω κάτι;
Και πώς μπορεί να αλλάξει κάτι, έστω κι ελάχιστο, χωρίς να γίνεται συνεχής ανασκόπηση της σχετικής Θεωρίας, από τη μια, και  χωρίς να ελέγχεται κάθε θεωρητική υπόθεση στην πράξη, από την άλλη;  Αυτό, βέβαια, το "να ελέγχεται η θεωρητική υπόθεση στην πράξη", που ακούγεται από τους θεωρητικούς του είδους σαν μια απλοϊκή διαδικασία ενός τετριμμένου αλγόριθμου,  εμείς που αναπνέουμε τον ίδιο αέρα με τους μαθητές μας, τον βαρύ από τη σκόνη της κιμωλίας και τον ιδρώτα της προσπάθειας, νομίζω, γνωρίζουμε  καλά πως κάθε άλλο παρά ντετερμινιστικά και αλγοριθμικά λειτουργεί. Η δυναμική της τάξης ακολουθεί μη ντετερμινιστικά μοντέλα. Το ζούμε.
Κάθε τμήμα,  κάθε ώρα, κάθε λεπτό διαμορφώνουν τις δικές τους συνθήκες και τη δική τους  'ατμοσφαιρική πίεση',  ακόμη και όταν ο εκπαιδευτικός επαναλαμβάνει κατά γράμμα μια καλά σχεδιασμένη τυπική διδασκαλία, ακόμη και τότε τα πράγματα, στα διαφορετικά τμήματα της ίδιας τάξης, δεν επαναλαμβάνονται πανομοιότυπα. 
Θα μπορούσαν να συμβαίνουν πανομοιότυπα, με την προϋπόθεση πως εμείς και οι μαθητές μας μιλάμε ακριβώς την ίδια γλώσσα, σκεφτόμαστε με τον ίδιο ακριβώς τρόπο και -γιατί όχι;- γνωρίζουμε ακριβώς τα ίδια πράγματα! Σ' αυτήν την περίπτωση το μοντέλο που ο εκπαιδευτικός  μπαίνει στην τάξη, γράφει κι εξηγεί δυο ορισμούς, τρεις συνέπειές τους, πέντε ιδιότητες στον πίνακα και φεύγει από την τάξη, θα δούλευε εντάξει :),  μόνο που πρόκειται για ένα εντελώς θεωρητικό και καθόλα ανύπαρκτο μοντέλο, αφού δεν αντιλαμβάνονται όλοι οι  μαθητές το ίδιο πράγμα, παρακολουθώντας το μάθημα..
Στην πραγματικότητα αυτό που συμβαίνει είναι αυτό που περιγράφει ο Resnick και συν. στο άρθρο τους "Η κατανόηση της Άλγεβρας", το οποίο μεταξύ άλλων μου πρότεινε να διαβάσω ο κος Γιάννης Θωμαΐδης. Το βρήκα εξαιρετικό και αντιγράφω μια παράγραφο που δεν θα πρέπει να ξεχνάει κανένας δάσκαλος των Μαθηματικών, όταν μπαίνει στην τάξη, για να διδάξει.

"Η διδασκαλία, όπως και κάθε μορφή επικοινωνίας, είναι από τη φύση της ατελής. Είναι αδύνατο ίσως να διατυπωθούν ρητά όλοι οι περιορισμοί που διέπουν έναν κανόνα ή ένα διαδικαστικό πεδίο. Ο μαθητής, θα πρέπει να τους συμπεράνει και, μ' αυτό τον τρόπο, να συγκροτήσει ένα σύνολο κανόνων. Οι μαθητές πραγματοποιούν την απαραίτητη νοητή δόμηση χρησιμοποιώντας όποιες γνώσεις έχουν  στη διάθεσή τους και τις θεωρούν σχετικές με το θέμα. Αυτό σημαίνει ότι οι απεικονίσεις του προβλήματος από τους μαθητές σε συνδυασμό με τις συγκεκριμένες γνώσεις που διαθέτουν, θα ελέγχουν τα είδη των νοητών δομών που θα δημιουργήσουν."

Άρα, αγαπητοί μου συνάδελφοι, νομίζω πως γίνεται σαφές ότι το να σχεδιάζει ο εκπαδευτικός  συγκεκριμένες διδακτικές παρεμβάσεις, για  να ελέγχει τα είδη των νοητών δομών που δημιουργούν οι μαθητές του, όταν αυτός μιλάει την όχι από όλους τους μαθητές πλήρως κατανοητή γλώσσα της Άλγεβρας, όχι μόνο "νομιμοποιείται", αλλά επιπλέον επιβάλλεται, όπως επιβάλλεται άλλωστε να σκέφτεται ο καθένας από μας που διδάσκει τα Μαθηματικά στους εφήβους, και σε μικρότερα παιδιά, "τι σημαίνει τελικά διδάσκω Μαθηματικά;".

Εύχομαι καλές γιοργές σε όλους μας.

Συναδελφικά
Κατερίνα Καλφοπούλου
   

Πέμπτη, 1 Δεκεμβρίου 2011

ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΩΜΑΤΑ..

ΓΙΑ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΕΣ ΔΕΙΤΕ ΕΔΩ
ΜΌΝΟ ΓΙΑ ΚΑΤΙ ΤΕΤΟΙΑ ΛΥΠΑΜΑΙ ΠΟΥ ΔΕΝ ΜΕΝΩ ΣΤΗΝ ΑΘΗΝΑ.. :)
Το «Τhe Hub Events» και ο Νικόλας Πρωτονοτάριος συνεχίζουν τη σειρά επιστημονικών διαλέξεων με τίτλο «Hub Science», με στόχο να παρουσιάσουν με συναρπαστικό τρόπο τις επιστήμες και να παρασύρουν το ευρύ κοινό στο μαγικό αλλά παρεξηγημένο αυτό κόσμο. Την Παρασκευή 2 Δεκεμβρίου 2011, στις 20:00 σας προσκαλούμε στη δεύτερη συνάντηση του «Hub Science» στα πλαίσια του οποίου θα πραγματοποιηθεί η διάλεξη του μαθηματικού, καθηγητή και συγγραφέα Τεύκρου Μιχαηλίδη με θέμα:
Τέσσερα χρώματα; Δεν το χωράει ο νους μου!
Η μαθηματική απόδειξη στον αιώνα της πληροφορικής

Το 1852 ο Francis Guthrie έθεσε στον παλιό καθηγητή του Augustus De Morgan το ακόλουθο πρόβλημα: «Πόσα το πολύ χρώματα απαιτούνται για να χρωματίσουμε έναν οποιονδήποτε επίπεδο χάρτη με την προϋπόθεση δύο χώρες που έχουν κοινό σύνορο να μην έχουν το ίδιο χρώμα;» Ο ίδιος ισχυρίστηκε ότι τέσσερα χρώματα αρκούν και την ίδια άποψη διατύπωσαν όλοι όσοι ασχολήθηκαν με το πρόβλημα – ανάμεσα σ’ αυτούς και πολλοί εξέχοντες μαθηματικοί. Ωστόσο στα 120 χρόνια που ακολούθησαν κανένας δεν μπόρεσε να δώσει ούτε μια απόδειξη που θα καθιστούσε την εικασία του Guthrie θεώρημα, ούτε ένα αντιπαράδειγμα που θα την κατέρριπτε. Μόλις το 1975 οι μαθηματικοί Αppel και Haken δημοσίευσαν μια απόδειξη, βασισμένη σε μη επαληθεύσιμα στοιχεία από ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η απόδειξή τους έφερε ξανά στην επιφάνεια και μάλιστα κάτω από νέο φως το παλιό ερώτημα του «τι αποτελεί αποδεκτή απόδειξη»;

Στην ομιλία του, ο Τεύκρος Μιχαηλίδης θα αφηγηθεί τα περιστατικά αυτής της ιστορίας και θα παρουσιάσει τις κυριότερες απόψεις υπέρ και κατά της χρήσης των ηλεκτρονικών υπολογιστών σε μια απόδειξη. Θα γίνει και μια σύντομη αναφορά στο νέο του μυθιστόρημα «Τα τέσσερα χρώματα του καλοκαιριού» (Εκδόσεις Πόλις).