Σάββατο, 16 Ιανουαρίου 2016

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ

και Η ΓΕΝΙΚΗ ...ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ!


Είπα να περάσω το υγρό και γκρίζο απομεσήμερο του Σαββάτου, διορθώνοντας τα τεστ της Γεωμετρίας, που έγραψαν χθες οι μαθητές μου. Η Γεωμετρία δεν είναι όπως είναι η Άλγεβρα. Απαιτείται αρκετός χρόνος, για να διορθωθούν τα γραπτά, ειδικά όταν οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν σε ασκήσεις σαν κι αυτή που τους έβαλα:

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ  με ΑΒ<ΑΓ και η διχοτόμος του ΑΔ. Παίρνουμε σημείο Ε πάνω στην ΑΓ, τέτοιο ώστε ΑΕ = ΑΒ.

Α) Να αποδείξετε ότι ΒΔ=ΔΕ                                                                  

Β) Αν η ΔΕ τέμνει την προέκταση της ΑΒ στο Κ, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΒΔ και ΔΕΓ είναι ίσα                                                                                      

Γ) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΔ:

 i) είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΒΕ                                                 

ii) διέρχεται από το μέσο της ΚΓ.   

Κλασική άσκηση, πανταχού παρούσα. Σπασμένη σε κομμάτια, για να μοιραστούν οι βαθμοί, να απαντηθούν πιο εύκολα τα ερωτήματα. Και όμορφη άσκηση, με τις συμμετρίες της, με το αεροδυναμικό σχήμα της, με όλα  τα καλά της, τέλος πάντων. Σχήμα δεν έδωσα στα θέματα. Έπρεπε να το φτιάξουν μόνοι τους, γιατί ήταν μέρος της εξέτασης. Τους είχα πει πως δεν θα δώσω.  Άλλωστε, είχαμε κάνει τρεις τέσσερις -εξίσου κλασικές- παρόμοιες. Γι' αυτό κανένας δεν αντέδρασε, όταν μοίρασα τα θέματα. Μια χαρά έγραψαν ήσυχα ήσυχα, μια χαρά έκατσα κι εγώ σήμερα, μετά το μεσημεριανό, να διοθρώσω τα γραπτά. Κι έφτασα λίγο κάτω από τη μέση, αλλά σταμάτησα. Σε αυτά που διόρθωσα βρήκα και 20άρι και 18άρια, δύο, και 16άρια, όπως βρήκα και τρία τεσάρια. Μόνο τα μισά από τα "Σωστά-Λάθος"  είχαν απαντήσει αυτοί οι τρεις. Αυτούς τους μαθητές, που είναι ὡς  εἰσίν παρόντες στην τάξη τους, τα χρόνια που δούλευα σε φροντιστήριο, κάποιοι τους έλεγαν "αιμοδότες".


Αλλά ο λόγος που διέκοψα τη διόρθωση δεν είναι η συγκεκριμένη κατηγορία μαθητών. Το πρόβλημα με τα παιδιά που έρχονται στο Λύκειο, κουβαλώντας στην πλάτη τους μια τσάντα, που δεν ανοίγει ποτέ, είναι μεγάλο, πολυπαραγοντικό και πιστεύω πως δεν προσεγγίζεται αμιγώς εκπαιδευτικά ή παιδαγωγικά... Εκτός ίσως από κάποιες μεμονωμένες περιπτώσεις. Τέλος πάντων.
Ο λόγος που διέκοψα τη διόρθωση ήταν η απάντηση ενός γραπτού, όπου εμφανίζεται ένα λάθος που γίνεται κατ' επανάληψη και όχι μόνο στη Γεωμετρία. Γίνεται παντού. 
Το σχήμα στο γραπτό ήταν σχετικά καλό και είχε απαντηθεί σωστά το  ερώτημα Α, αλλά καθόλου το Β, ενώ η απάντηση στο ερώτημα Γ ήταν η εξής:
(Παραθέτω σχήμα -όχι του γραπτού, αλλά το δικό μου- για την καλύτερη κατανόηση της απάντησης, που δόθηκε).

 Γ) i) Εφόσον ΒΔ=ΔΕ, τότε ΑΔ αποτελεί τη μεσοκάθετός τους.
ii) Εφόσον ΑΔ ευθεία και μεσοκάθετος, τότε αν την προεκτείνουμε γίνεται μέσο της ΚΓ.
  
Η απάντηση  είναι (αντι)γραμμένη κατά γράμμα. Δεν πρόσθεσα και δεν παρέλειψα τίποτα.
Τη διάβασα αρκετές φορές, για να καταλάβω τι δεν έχει καταλάβει και τι δεν ξέρει το παιδί που την έδωσε, επειδή στη λειτουργία της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος  επιμείνω πολύ. Και όταν λέω ότι επιμένω πολύ, δεν εννοώ μόνο ότι κάνω πολλές ασκήσεις, αλλά και ότι εξηγώ πως δεν έχει νόημα να λέμε "η μεσοκάθετος" σκέτα. Πρέπει να λέμε "η μεσοκάθετος του τάδε ευθύγραμμου τμήματος". Με άλλα λόγια η μεσοκάθετος προσδιορίζεται πάντοτε από  μια  γενική κτητική. (Είναι;)  Όπως και "το κέντρο του κύκλου". Δεν λέμε σκέτα "το κέντρο", επειδή είναι υποχρεωτικό να εξηγήσουμε για ποιο ακριβώς κέντρο μιλάμε. Αυτές οι γεωμετρικές έννοιες, και άλλες πολλές γεωμετρικές και αλγεβρικές, πρέπει να προσδιορίζονται. 
Πρέπει να συνοδεύονται αναγκαστικά, στα προφορικά και στα γραπτά μας, από έναν ετερόπτωτο προσδιορισμό.  Για να είμαι ειλικρινής, αυτό, περί του ετερόπτωτου προσδιορισμού, δεν το είχα πει στο μάθημα. Όμως μέχρι πού να φτάσει κανείς, προσπαθώντας να εξηγήσει στους δεκαπεντάχρονους την Ευκλείδεια Γεωμετρία;
Ένιωσα όμως την ανάγκη να το ψάξω τώρα στο ίντερνετ. Δηλαδή, το έψαξα  όταν -διαβάζοντας την παραπάνω απάντηση- σταμάτησα τη διόρθωση των γραπτών. Ψάχνοντας στο διαδίκτυο βρήκα πολλά και ωραία παραδείγματα για τους "Ετερόπτωτους προσδιορισμούς σε γενική και αιτιατική" .  
"Στυλό διαρκείας", "γλυκό του κουταλιού", "ποτήρι του κρασιού", "κορυφή του βουνού"... 
Σε κανένα παράδειγμα όμως "μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος", "κέντρο του κύκλου",  "διχοτόμος της γωνίας"... :). Λογικό, αφού αυτοί που γράφουν τη Γραμματικη δεν είναι μαθηματικοί! 
Αλλά κι αυτοί που είναι μαθηματικοί δεν κολλάνε στη λεπτομέρεια του ετερόπτωτου προσδιορισμού.

Δεν ξέρω σε ποια τάξη διδάσκονται οι ετερόπτωτοι προσδιορισμοί, πιστεύω όμως πως θα ήταν ιδιαίτερα χρήσιμο και πολύ βολικό, αν κατά τη διδασκαλία τους αντλούνταν παραδείγματα από την ύλη των Μαθηματικών!  Με αυτόν τον τρόπο αφενός θα δινόταν χρόνος στους μαθητές να αφομοιώσουν τις έννοιες και προς τις δύο κατευθύνσεις, αφετέρου θα περνούσε το μήνυμα πως τα Μαθηματικά είναι παντού, όπως είναι και η γλώσσα και πως η γνώση είναι συνεκτική και ενιαία. 
Ίσως έτσι να γινόταν κατανοητό πως η "μεσοκάθετος" είναι μια έννοια σχετική, αφού η μεσοκάθετος είναι μια ευθεία της οποίας τα σημεία έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα σε σχέση με ένα συγκεκριμένο ευθύγραμμο τμήμα. Μπορεί βέβαια μια ευθεία να είναι ταυτόχρονα μεσοκάθετος πολλών (άπειρων αν προτιμάτε) ευθύγραμμων τμημάτων (αρκεί αυτά να είναι μεταξύ τους παράλληλα και η ευθεία να διέρχεται από τα μέσα τους, υπό ορθή γωνία), αλλά δεν μπορεί να υπάρξει μια ευθεία ως μεσοκάθετος κανενός ευθύγραμμου τμήματος, δηλαδή μια "απόλυτη" και "καθολική" μεσοκάθετος,  όπως αυτή που αναφέρεται στην παραπάνω λύση του γραπτού, που έγινε αφορμή να σταματήσω τη διόρθωση και να ψάξω στη Γραμματική, για να προσδιορίσω τι είδους είναι η γενική... 

Μήπως, με αφορμή τον εθνικό και κοινωνικό διάλογο για την Παιδεία, να ... επεκταθεί η υπάρχουσα Γραμματική και - μεταξύ των ετερόπτωτων προσδιορισμών - ανάμεσα στη γενική κτητική και γενική αντικειμενική να προσθέσουμε και μια "γενική γεωμετρική";
Να συμπεριλάβουμε, έστω, μια παράγραφο με αναφορές στη "γενική της Γεωμετρίας";  :)

Αλλά αυτό θα μπορούσε να προκύψει μόνο ως προϊόν αγαστής συνεργασίας...
          

Δευτέρα, 11 Ιανουαρίου 2016

ΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΕΡΙΝΑ...

"ΓΡΑΜΜΑ ΣΤΗΝ ΚΑΤΕΡΙΝΑ..." είναι ο τίτλος του μηνύματος που βρήκα σήμερα το πρωί στο inbox μου, το οποίο άρχιζε ως εξής:
 
"Με αφορμή το άρθρο σας σχετικά με το Έρωτας και Μαθηματικά σας έγραψα κάποιες σκέψεις μου... Ήθελα να γράψω στο ιστολόγιό σας...αλλά βγήκαν πολλές..."

Το υπέγραφε η  Άννα Γαβριήλ, η νέα διαδικτυακή μου φίλη.
Η Άννα, μια νέα και ενθουσιώδης μαθηματικός, με ένα πλατύ, λαμπερό χαμόγελο, που το βλέπεις και γεμίζεις αισιοδοξία για τη νέα γενιά, είχε επισυνάψει στο μήνυμά της, ένα αρχείο word με τις σκέψεις που έκανε διαβάζοντας την τελευταία μου ανάρτηση. Όμως οι σκέψεις ενός νέου ανθρώπου όπως η Άννα, έχουν βαρύνουσα σημασία, γι' αυτό έκρινα καλό πως δεν θα πρέπει να μείνουν αρχειοθετημένες κάπου στους φακέλους του υπολογιστή μου, αλλά θα πρέπει να δουν το φως της δημοσιότητας και να κυκλοφορήσουν στο διαδίκτυο. Έτσι, λέγοντας ένα ΜΕΓΑΛΟ ΕΥΧΑΤΙΣΤΩ στην Άννα, που θέλησε να μοιραστεί τις σκέψεις της μαζί μου, τις μοιράζομαι κι εγώ μαζί σας, χωρίς δεύτερη σκέψη...
Άλλωστε, η αγαπημένη μου φιλόλογος, η Μαρία Αναστασδιάδου, στη Β' Γυμνασίου μας έλεγε: "Μοιρασμένη χαρά, διπλή χαρά..." (*)


Κυρία Καλφοπούλου, (Κατερίνα!)

Διαβάζοντας το άρθρο και τις σκέψεις σας «Καλή Χρονιά με έρωτα και Μαθηματικά» ένιωσα (και πάλι) να μοιράζομαι τις εμπειρίες σας. Ίσως η διδακτική μου πείρα χρονικά να είναι μικρότερη από τη δική σας, όμως η ίδια αγάπη και το ίδιο πάθος που μοιραζόμαστε κάνει τον χρόνο μία σχετική έννοια! Είμαι δε στην ευχάριστη διττή θέση να μπορώ να «απαντήσω» στις σκέψεις σας και ως μαθήτρια και ως καθηγήτρια Μαθηματικών. (προτιμώ τον τίτλο ΄δασκάλα Μαθηματικών΄, όμως ξέρω τη βαρύτητα της λέξης αυτής....ωστόσο, όταν με αποκαλούν έτσι η χαρά μου δεν κρύβεται!)
Ως μαθήτρια, λοιπόν, θυμάμαι πότε πρωτοερωτεύτηκα τα Μαθηματικά. Φυσικά, πέρασα χρόνια μη καταλαβαίνοντάς τα. Ειδικά το «γιατί». Όχι μόνο γιατί να τα μάθω, που θα υποδήλωνε ίσως μία τεμπελιά, αλλά το «γιατί» υπάρχουν αυτοί οι κανόνες, πώς δημιουργήθηκαν, ποιός και πώς τους όρισε! Γιατί ομώνυμα τα κλάσματα, γιατί ο πολλαπλασιαμός μεγαλώνει, αλλά ίσως κάποιες φορές και να μικραίνει την αξία του αριθμού. Γιατί α0 = 1; Γιατί θέλουμε τόσο πολύ να ‘διώχνουμε’ τη ρίζα από τον παρονομαστή; Ο Ντένι Γκετζ στο βιβλίο του «Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου» τονίζει ότι: «Έχουμε κάθε δικαίωμα να μη μας αρέσουν τα μαθηματικά, αλλά είναι καλύτερα να μπορούμε να τα κατανοούμε.» Αποτελεί συχνά μία απάντησή μου στους μαθητές που ρωτούν είτε από τεμπελιά, είτε από φοβό «Γιατι να τα μάθω; Δεν μου αρέσουν!»
Ωστόσο, ο έρωτάς μου δεν ξεκίνησε με τις απαντήσεις στα «γιατί» μου. Ακριβώς όπως ο έρωτας στον αντικειμενικό μας κόσμο δεν σε ρωτάει και δεν απαντάει στα «γιατί» στην αρχή του. Ο έρωτας λοιπόν με τα Μαθηματικά ξεκίνησε με μία δασκάλα Μαθηματικών στην Γ΄ Γυμνασίου που μου ΄έδειξε΄τον δρόμο. Τώρα μπορώ να καταλάβω οτι έκανε τα πάντα μεν, αλλά με έμφαση να μάθω τις μεθόδους, τις φόρμουλες, τις συνταγές...Αλλά δεν την αδικώ...Ήταν στην αρχή της διδασκαλίας της, έτσι έκανα και εγώ!Και ούτε μου έδειξε απέραντους δρόμους στις μαθηματικές έννοιες, μικροσκοπικό ήταν το τμήμα διδασκαλίας της, ούτε είδα συνδέσεις με την Τέχνη και τη Λογοτεχνία, απείχαμε πολύ από αυτό! Είδα όμως το πάθος για γρήγορη σκέψη, είδα το πάθος για να προσπαθώ ακόμα και αν κάνω λάθος. Είδα το πάθος για να ξεπερνάω το λάθος και να συνεχίζω. Ξέρω οτι δεν είμαι η μοναδική που εμπνεύστηκα από έναν δάσκαλο, αλλά όταν το αναγνωρίζεις είναι υπέροχο!
Θα μιλήσω, ωστόσο και για εκείνα τα «γιατί» μου!Που ίσως όταν ο έρωτας γίνεται βαθιά αγάπη, σε βοηθάει να τα δεις πιο καθαρά! Μετά το μεταπτυχιακό μου στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών συνειδητοποίησα πόσο μηχανιστικά ζητάμε από τα παιδιά να μάθουν τα Μαθηματικά. Πώς είναι δυνατόν να μην νιώθουν την απέχθεια και ίσως και το μίσος! Αυτή η μηχανιστική εκμάθηση «συνταγών» λοιπόν δεν είναι «αφαίρεση» στην ύλη, αλλά «πρόσθεση» της ύλης. Αμέτρητες μεν περιπτώσεις, αλλά χωρίς καμία να έχει κατανοηθεί σε βάθος. Να σταματήσεις  και να σκεφτείς, να δώσεις χρόνο στα μάτια και τη συνείδησή σου για να απαντήσεις στο ερώτημα, π.χ. γιατί δεν διαιρώ με το μηδέν;
Θα ήταν υπέροχο τα παιδιά να έβλεπαν πολλά κομμάτια των Μαθηματικών που ούτε φαντάζονται, όπως Μαθηματικά στις κηρήθρες και στα πλακόστρωτα, αλλά είναι εξίσου σημαντικό να εμβαθύνουν τις γνώσεις που έλαβαν στο Δημοτικό σχολείο,ερχόμενοι στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο με κύρια και επιτακτική έμφαση στο «γιατί».
Και θα μεταφερθώ στο θέμα σχετικά με τους μαθηματικά εγγράμματους μαθητές και στη συνέχεια πολίτες. Αν δεν ξέρεις το «γιατί» υπάρχει ένας κανόνας μπορείς να τον εφαρμόζεις; Ίσως οι περισσότεροι να απαντήσουμε ρομαντικά όχι, αλλά η πεζή πραγματικότητα δείχνει πώς ναι. Χιλιάδες ανθρώπων γνωρίζουν ότι «πλην επί πλην ισούται με συν», χωρίς να έχουν ιδέα γιατί να ισχύει αυτός ο παράξενος κανόνας!Παράξενος αν μεταφράζεις τους αρνητικούς ως χρέη και φαντασιώνεσαι να γίνονται κέρδη!
Ωστόσο, αν οι γνώσεις των περισσοτέρων μαθητών βασίζονται στην εξάσκηση και όχι στην εκ βάθους γνώση, με βάση την ιστορική πορεία των Μαθηματικών, για παράδειγμα, τί είδους πολίτες δημιουργεί αυτό το σύστημα. Πολίτες υπάκοους, συνεργάσιμους, χωρίς να ρωτούν «γιατί». Προφανώς, λοιπόν, ζητάμε τον μαθηματικό γραμματισμό, ως καθηγητές για να μορφώσουμε τους μαθητές μας, ως παιδαγωγοί για να τους κάνουμε σκεπτόμενους πολίτες!Μία λοιπόν λέξη θα πρέπει να επικρατεί στις σχολικές αίθουσες... «Γιατι;» Ένα «γιατί» που δεν θα βιάζεται, δεν θα απαιτεί άμεση απάντηση, αλλά θα περιμένει απάντηση! Ένα «γιατί» που θα επί – μορφώσει τους δασκάλους και θα μορφώσει τους μαθητές, αλλά πάνω απ’ όλα θα τους διαπαιδαγωγήσει.
Φυσικά και όλα τα παραπάνω εκφράζουν προσωπικές σκέψεις και εμπειρίες και φυσικά δεν αφορούν μόνο το μάθημα των Μαθηματικών. Ωστόσο, δεν έχω κανένα λόγο να είμαι απόλυτα αντικειμενική ως ερωτευμένη με τα Μαθηματικά και να συμφωνήσω ότι Ναι:
«Όπου δεν υπάρχουν Μαθηματικά, δεν υπάρχει ούτε Ελευθερία!»

Με αγάπη,
Άννα Γαβριήλ
**********************************************************************


(*) Αν λόγω της καθηγήτριας των Μαθηματικών μου στην Α' Γυμνασίου, της κυρίας Συμεωνίδου, δεν είχα αποφασίσει να γίνω "δασκάλα Μαθηματικών", τότε σίγουρα στη Β' Γυμνασίου, λόγω της κυρίας Αναστασιάδου,  θα αποφάσιζα μεγαλώνοντας να  γίνω φιλόλογος... :)
Το βέβαιο είναι πως οι δύο καθηγήτριές μου, έπαιξαν σημαντικό ρόλο στις επιλογές της ζωής μου...
Τον ίδιο ρόλο, είμαι σίγουρη, θα παίξεις κι εσύ  στις ζωές πολλών  μαθητών σου, Άννα!


Τρίτη, 5 Ιανουαρίου 2016

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ ΜΕ "έρωτα & μαθηματικά"


Καλή Χρονιά! Χρόνια πολλά, με έρωτα και μαθηματικά!

Η ευχή μου ίσως ακουγόταν κάπως περιοριστική και σίγουρα ασυνήθιστη, αν δεν τη συνόδευε η εικόνα του βιβλίου "έρωτας & μαθηματικά" του Edward Frenkel, που κυκλοφόρησε προσφάτως από τις εκδόσεις αλεξάνδεια.
Το βιβλίο μου το δώρισαν προ ολίγων ημερών, αλλά τα εορταστικά τραπεζώματα και οι λοιπές υποχρεώσεις δεν μου είχαν επιτρέψει να διαβάσω πέρα από το εισαγωγικό σημείωμα του μεταφραστή, του αγαπημένου Τεύκρου Μιχαηλίδη, από όπου πληροφορήθηκα ότι πρόκειται για ένα πλούσιο υφαντό φτιαγμένο από τριών λογιών νήματα ... και πως τα τρία νήματα της αφήγησης διαπλέκονται με τρόπο ευχάριστο και γλαφυρό.
Χθες αργά το βράδυ, επιτέλους, άρχισα να διαβάζω τον πρόλογο του Frenkel και -παρόλο που ήταν από ώρα περασμένα μεσάνυχτα  και παρόλο που είχα ταξιδέψει πολλές ώρες με το τρένο κι ένιωθα ένα βουητό στα αυτιά- άρχισα να ... ερωτεύομαι το κείμενο που διάβαζα!
Στις οκτώμισι σελίδες του προλόγου του ο Frenkel μιλάει για τον κόσμο των μαθηματικών, ένα μυστικό κόσμο, ένα κρυμμένο παράλληλο σύμπαν, παράξενα συνυφασμένο με το δικό μας, γεμάτο ομορφιά και κομψότητα και θέτει το ερώτημα: 
Πώς είναι δυνατόν να υπάρχουν τόσοι πολλοί "λογικοί, μορφωμένοι άνθρωποι", οι οποίοι δηλώνουν με ένα "αξιοπερίεργο μείγμα περιφρόνησης και υπερηφάνειας", ότι τα μαθηματικά αποτελούν "καθαρό βασανιστήριο" ή "εφιάλτη" που "τους ξενερώνει";
Απαντά στο ερώτημά του με δύο κύριες αιτίες, η μία εκ των οποίων έχει κοινά στοιχεία με τον προβληματισμό που ανέπτυξα στο άρθρο "Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΟΦΕΙΛΕΙ ΝΑ ΑΛΛΑΞΕΙ ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ", το οποίο  από πολλούς συναδέλφους σχολιάστηκε  θετικά, αλλά σε μια μερίδα αναγνωστών έχει εγείρει θύελα αντιδράσεων, αφορισμών και -ακόμη ακόμη και- ύβρεων προς το πρόσωπό μου! Τέλος πάντων...
Ο Frenkel θεωρεί ότι ο χαμηλός μαθηματικός γραμματισμός οφείλεται, κατά πρώτον στην υψηλή τους αφαίρεση και κατά δεύτερο στο σχολείο, "όπου ερχόμαστε σε επαφή με ένα μικροσκοπικό τμήμα των μαθηματικών που το μεγαλύτερο μέρος τους θεμελιώθηκε εδώ και πάνω από χίλια χρόνια. Από τότε τα μαθηματικά έχουν προχωρήσει τρομακτικά, ωστόσο οι θησαυροί των μοντέρνων μαθηματικών παραμένουν για τους περισσότερους από εμάς κρυμμένοι."

Από τα πολλά κι ενδιαφέροντα που αναφέρονται στον πρόλογο του βιβλίου επέλεξα τρία κεντρικά σημεία, στα οποία θα εστιάσω στη συνέχεια.

Το πρώτο από τα τρία το έχω ήδη αναφέρει. Έχει να κάνει με το "μικροσκοπικό"  τμήμα των μαθηματικών το οποίο διδάσκουμε στο σχολείο μας. Θα μου πείτε τώρα πως όλοι διαμαρτύρονται για την εκτενή ύλη κι εγώ θεωρώ πως είναι "μικροσκοπικό" τμήμα των μαθηματικών; Υπό μια έννοια δεν είναι απλά μικροσκοπικό είναι και ιδιαίτερα βολικό για πολλούς διδάσκοντες. Θα εξηγήσω αμέσως τι εννοώ, παραπέμποντας στην εισήγηση που έκαναν οι συνάδελφοι Μαλλιάκας Κωνσταντίνος και Πλαϊνιώτης Θεόδωρος, στο 32ο Συνέδριο της ΕΜΕ, με τίτλο: Ανάλυση των ασκήσεων των Μαθηματικών του σχολικού βιβλίου της Γ' Γυμνασίου στην Ελλάδα ως προς το είδος και το μετασχηματισμό της γνώσης που απαιτείται και ως προς τη μορφή τους.  Οι συνάδελφοι διαπίστωσαν πως το 70% των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου είναι μη πλαισιωμένες ασκήσεις, που ζητούν να υπολογιστούν παραστάσεις ή να λυθούν εξισώσεις. Κι εγώ συμπληρώνω, από την εμπειρία μου, πως η πλειοψηφία των διδασκόντων επιλέγει αυτές τις ασκήσεις! Υπό αυτήν την έννοια ασχολούμαστε με ένα "μικροσκοπικό" και άκρως φορμαλιστικό, κύριε Κυριακόπουλε, κομμάτι των μαθηματικών που κάνει τους μαθητές να δυσφορούν και τους ενήλικες να συμπεριφέρονται όπως εύλογα περιγράφει ο Frenkel στον πρόλογό του. Να υπενθυμίσω όμως ότι ο Frenkel δεν σχολιάζει την ελληνική πραγματικότητα. Οποία σύμπτωση, επομένως, να παρατηρείται και στη χώρα μας το ίδιο ακριβώς φαινόμενο! [Οι περισσότεροι ενήλικες και στην Ελλάδα δηλώνουν ευθαρσώς πως απεχθάνονται τα μαθηματικά!]

Και περνώ στο δεύτερο σημείο του προλόγου που θέλω να θίξω, το οποίο συνδέεται άμεσα με αυτό που λέμε μαθηματικά εγγράμματη κοινωνία. Γράφει ο Frenkel σχετικά:

...το 1996, μια επιτροπή που είχε οριστεί από την κυβέρνηση των ΗΠΑ, σε μια μυστική συνάντηση, άλλαξε έναν μαθηματικό τύπο για τον υπολογισμό του Δείκτη Τιμών Καταναλωτή. Ήταν ο τύπος που μετρά τον πληθωρισμό και καθορίζει τις φορολογικές κλίμακες, την κοινωνική ασφάλιση, την ιατρική φροντίδα και άλλες συναρτημένες πληρωμές. Αυτό έπληξε δεκάδες εκατομμυρίων Αμερικανών. Ωστόσο, η δημόσια συζήτηση σχετικά με τον νέο μαθηματικό τύπο και τις συνέπειές του ήταν πολύ περιορισμένη. Και πρόσφατα έγινε μια ακόμη απόπειρα να χρησιμοποιηθεί αυτός ο σκοτεινός τύπος ως πισώπλατο χτύπημα για την οικονομία των ΗΠΑ. (για περισσότερα το άρθρο του Frenkel εδώ

Και συνεχίζει ο συγγραφέας, λέγοντας:

Σε μια μαθηματικά εγγράμματη κοινωνία αυτού του είδους οι παρασκηνιακές συμφωνίες θα είχαν πολύ μικρότερες προοπτικές επιτυχίας. ... Θα πρέπει να έχουμε όλοι πρόσβαση στη μαθηματική γνώση και στα εργαλεία που απαιτούνται, για να προστατευθούμε από αυθαίρετες αποφάσεις που λαμβάνονται από τους ολίγους ισχυρούς μέσα σ' έναν κόσμο που βασίζεται όλο και περισσότερο στα μαθηματικά. Όπου δεν υπάρχουν μαθηματικά δεν υπάρχει ούτε ελευθερία.


Το απόσπασμα μιλάει από μόνο του, γι' αυτό το αφήνω ασχολίαστο και προχωρώ στο τρίτο, και τελευταίο σημείο, στο οποίο εμείς οι διδάσκοντες των μαθηματικών οφείλουμε να δώσουμε βαρύνουσα προσοχή. Μας εξομολογείται ο Frenkel:

Όταν ήμουν μικρός δεν είχα καθόλου αντιληφθεί την ύπαρξη αυτού του κρυφού κόσμου των μαθηματικών. Όπως και οι περισσότεροι, θεωρούσα ότι τα μαθηματικά ήταν ένα αρτηριοσκληρωτικό, βαρετό αντικείμενο. Αλλά υπήρξα τυχερός: κατά την τελευταία μου χρονιά στο γυμνάσιο γνώρισα έναν επαγγελματία μαθηματικό που άνοιξε μπροστά στα μάτια μου τις πύλες για τον μαγικό κόσμο των μαθηματικών. Έμαθα ότι τα μαθηματικά παρουσιάζουν απεριόριστες δυνατότητες, ενώ είναι γεμάτα κομψότητα και ομορφιά, όπως ακριβώς η ποίηση, οι εικαστικές τέχνες και η μουσική. Ερωτεύτηκα τα μαθηματκά.


Ο Frenkel ερωτεύτηκε τα μαθηματικά, όταν - με τη βοήθεια του δασκάλου του - ανακάλυψε την κρυμμένη τους ομορφιά!
Και δεν είναι ο μόνος. Κάποιοι μαθητές εμπνευσμένοι από έναν δάσκαλο κι άλλοι διαβάζοντας ένα βιβλίο, ξεπερνούν την απέχθεια τους για τα μαθηματικά και - κάνοντας ένα άλμα - διαπρέπουν ως ερευνητές.
O Keith Devlin κάνει μια αντίστοιχη δήλωση: 



Επομένως, αν εμείς, ως διδάσκοντες, εξαντλούμε το μάθημα εστιάζοντας στο 70% των μη πλαισιωμένων ασκήσεων του σχολικού βιβλίου, όπου "καταδυναστεύουμε" (ή όπως γράφει στον πρόλογό του ο Frenkel "βασανίζουμε") όλους ανεξαιρέτως τους μαθητές μας, απαιτώντας να διαχειρίζονται σύμβολα τα οποία δεν αναπαριστούν απολύτως τίποτε και δεν υποστασιοποιούνται με κάποιον τρόπο, δεν εσωτερικεύονται ούτε αφομοιώνονται, πώς θα αναδείξουμε την ομορφιά των μαθηματικών και πώς θα εμπνεύσουμε τον έρωτα στα παιδιά; 
Και αν ακόμη δεν είναι αυτοσκοπός να αναδείξουμε μέσα από το μάθημά μας τον επόμενο Devlin  ή τον επόμενο Frenkel, χωρίς κανένας να το αποκλείει και αυτό, μήπως δεν είναι καθήκον μας να μειώσουμε στο ελάχιστο δυνατό την απέχθεια για το μάθημα των Μαθηματικών, αυτό το δυσάρεστο συναίσθημα που παραδέχονται πολλοί ενήλικες, με ένα ... αξιοπερίεργο  μείγμα περιφρόνησης και υπερηφάνειας;  Οπότε, τι κάνουμε γι' αυτό;  Προς το παρόν, αφήνουμε το ερώτημα ανοιχτό!


ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ με πολύ έρωτα, υγεία,  ευτυχία, γοητεία και φυσικά με ωραία Μαθηματικά!
----------------------------------------------------------------------------------------
Και ένα μεγάλο ευχαριστώ στον Τεύκρο Μιχαηλίδη, που για μια ακόμη φορά, μεταφράζοντας ένα ενδιαφέρον βιβλίο, μας ανοίγει ένα παράθυρο στα γοητευτικά και ... ερωτεύσιμα Μαθηματικά! :)